3. Zadatak

Prvo rješenje.

Prema uvjetu zadatka, 0 je nultočka polinoma $P$. Nadalje, za $x=0$ vrijedi: $$P(0)-P(-1)=0,$$ pa je $x=-1$ također nultočka. Zato je polinom djeljiv s $x(x+1)$. Možemo ga prikazati u obliku $$P(x)=x(x+1)(ax^2+bx+c).$$ Koeficijente možemo odrediti iz temeljnog identiteta: $$\begin{aligned} P(x)-P(x-1)&=x^3,\\ x(x+1)(ax^2+bx+c)-(x-1)x(a(x-1)^2+b(x-1)+c)&=x^3,\\ ax^2(x+1)+bx(x+1)+c(x+1)-a(x-1)^3-b(x-1)^2-c(x-1)&=x^2. \end{aligned}$$ Sređujući po potencijama od $x$, dobivamo $$x^2(4a-1)+x(3b-3a)+2c+a-b=0,$$ $$\begin{aligned} 4a-1=0&\quad\Rightarrow\quad a=\frac14,\\ 3b-3a=0&\quad\Rightarrow\quad b=a=\frac14,\\ 2c+a-b=0&\quad\Rightarrow\quad c=0. \end{aligned}$$ Prema tome, vrijedi $$P(x)=\frac14x^2(x+1)^2.$$ Iz niza rekurzija $$\begin{aligned} P(1)-P(0)&=1^3,\\ P(2)-P(1)&=2^3,\\ &\vdots\\ P(n)-P(n-1)&=n^3 \end{aligned}$$ zbrajanjem dobivamo, uvažavajući $P(0)=0$, $$P(n)=1^3+2^3+\ldots+n^3=\frac14n^2(n+1)^2.$$

Drugo rješenje.

Do istog se rješenja može doći i bez početne analize, tražeći polinom u obliku $$P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e.$$ Koeficijente tražimo iz identiteta: $$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a(x-1)^4+b(x-1)^3+c(x-1)^2+d(x-1)+e+x^3.$$ Izjednačavanjem koeficijenata uz odgovarajuće potencije, dobivamo: $$\begin{aligned} a&=a\\b&=-4a+b+1,\\c&=6a-3b+c,\\d&=-4a+3b-2c+d,\\e&=a-b+c-d+e. \end{aligned}$$ Iz druge jednakosti slijedi $a=\frac14$, iz treće $b=\frac12$, iz sljedeće $c=\frac14$, a iz posljednje $d=0$.

Koeficijent $e$ jednak je nuli, jer vrijedi $P(0)=e=0$. Dakle $$P(x)=\frac14x^2(x+1)^2.$$ Računanje sume odvija se kao u prvom rješenju.