5. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je tražena točka $T(x,y)$. Udaljenost točaka $A$ i $T$ je $$\begin{aligned} |AT|&=\sqrt{(x_T-x_A)^2+(y_T-y_A)^2}\\ &=\sqrt{(x-0)^2+(y-7)^2}=\sqrt{x^2+y^2-14y+49}, \end{aligned}$$ Budući da točka pripada hiperboli $x^2=4+\frac43y^2$, izraz pod korijenom poprima vrijednost $$\begin{aligned} f(y)&=\frac{12+4y^2}3+y^2-14y+49\\&=\frac73y^2-14y+53. \end{aligned}$$ Sad treba naći minimum ove funkcije. Riječ je kvadratnoj funkciji, pa se njezin minimum poprima u apscisi tjemena: $$y_{\min}=-\frac{-14}{2\cdot\frac73}=3,$$ Traženi $x$ jednak je $\pm4$. Postoje dvije točke $(4,3)$ i $(-4,3)$.

Drugo rješenje.

Tangenta u točki $T(x_1,y_1)$ hiperbole ima jednadžbu $$b^2x_1x-a^2y_1y=a^2b^2.$$ Koeficijent smjera tangente je $k=\frac{b^2x_1}{a^2y_1}$, a koeficijent smjera normale je $n=-\frac{a^2y_1}{b^2x_1}$.

Normala hiperbole koja prolazi točkom $A=(x_0,y_0)=(0,7)$ siječe hiperbolu u točki $(x_1,y_1)$. Njezina je jednadžba $$y-y_0=-\frac{4y_1}{3x_1}(x-x_0)$$ tj. $$y-7=-\frac{4y_1}{3x_1}x.$$ Budući da taj pravac prolazi i točkom $T$ mora vrijediti $y_1=7-\frac{4y_1}{3x_1}x_1$ iz čega lako dobijemo $y_1=3$. Iz jednadžbe hiperbole slijedi $x=\pm4$.