5. Zadatak

Matko ima četiri nove drvene bojice (crvenu, plavu, zelenu i žutu) i na papiru nacrtan kvadrat $ABCD$ kojem je duljina stranica jednaka duljini bojica. Na koliko načina Matko može položiti na svaku stranicu kvadrata po jednu bojicu tako da vrh crvene bojice i vrh plave bojice ne budu u istom vrhu kvadrata?

Prvo rješenje.

Crvenu bojicu možemo položiti na bilo koju od četiri stranice kvadrata. Plavu bojicu zatim možemo položiti na bilo koju od preostale tri stranice, zelenu na jednu od preostale dvije stranice, a žuta strelica nužno dolazi na posljednju stranicu. Na taj način dobivamo $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ različita rasporeda boja po stranicama kvadrata.

Za svaki takav raspored, svaka od četiri bojice može imati jednu od dvije moguće orijentacije, pa ukupno postoji $2^4=16$ mogućih izbora orijentacije.

Stoga je ukupan broj svih mogućih polaganja bojica jednak $24\cdot16=384$ .

Preostaje odrediti rasporede u kojima se vrh crvene i vrh plave bojice nalaze u istom vrhu kvadrata. Najprije biramo jedan od četiri vrha kvadrata. Postoje točno dvije stranice koje se u sastaju u izabranom vrhu. Crvenu i plavu bojicu možemo položiti na dva načina na te stranice tako da im vrhovi budu u izabranom vrhu kvadrata.

Na preostale dvije stranice polažu se zelena i žuta bojica, što se može učiniti na $2$ načina. Svaka od tih dviju bojica može imati jednu od dvije moguće orijentacije, što daje ukupno $2^2=4$ mogućnosti.

Ukupno tako dobivamo $4\cdot2\cdot2\cdot4=64$ rasporeda u kojima se vrh crvene i vrh plave bojice nalaze u istom vrhu kvadrata.

Od broja svih mogućih polaganja bojica oduzimamo broj mogućih polaganja u kojima se vrh crvene i vrh plave bojice nalaze u istom vrhu kvadrata.

Dakle, ima ukupno $384-64=320$ traženih načina.

Drugo rješenje.

Promotrimo položaje crvene i plave bojice koji zadovoljavaju uvjet zadatka.

Razlikujemo dva slučaja.

U prvom slučaju plava i crvena bojica se nalaze na susjednim stranicama kvadrata, ali im nisu oba vrha u vrhu kvadrata u kojem se sastaju te susjedne stranice. Vrh kvadrata u kojem se sastaju plava i crvena bojica možemo odabrati na $4$ načina.

Plavu i crvenu bojicu možemo položiti na stranice kvadrata na $2$ načina, a možemo ih okrenuti tako da ne budu vrhovi obje bojice u vrhu kvadrata na $3$ načina. Stoga, u ovom slučaju plavu i crvenu bojicu možemo položiti na $4\cdot2\cdot3=24$ načina.

U drugom slučaju plava i crvena bojica se nalaze na nasuprotnim stranicama kvadrata. Na $4$ načina možemo odabrati stranicu kvadrata na koju polažemo crvenu bojicu, a stranica na koju polažemo plavu bojicu je time jedinstveno određena.

Na $2\cdot2$ načina možemo okrenuti plavu i crvenu bojicu. Stoga, u ovom slučaju plavu i crvenu bojicu možemo položiti na $4\cdot2\cdot2=16$ načina.

U oba slučaja, na $2$ načina možemo odabrati na kojoj stranici će biti položena zelena bojica i time je jedinstveno određena stranica na kojoj će biti žuta bojica. Te dvije bojice možemo okrenuti na $2\cdot2=4$ načina, tj. možemo ih položiti na ukupno $2\cdot4=8$ načina.

Ukupan broj traženih načina iznosi $(24+16)\cdot8=320$ .