7. Zadatak

Za brojeve $1$, $5$, $6$ i $10$ posljednja znamenka potencije uvijek je ista, tj. za svaki $n\in\mathbb{N}$ vrijedi: $1^n$ ima posljednju znamenku $1$, $5^n$ ima posljednju znamenku $5$, $6^n$ ima posljednju znamenku $6$, $10^n$ ima posljednju znamenku $0$.

Kod potencija s bazama $2$, $3$, $4$, $7$, $8$ i $9$ posljednje znamenke se pravilno ponavljaju.

Za potencije broja $2$ vrijedi:

$$2^1=2,\qquad 2^2=4,\qquad 2^3=8,\qquad 2^4=16,\qquad 2^5=32,\qquad\ldots,$$

te se posljednje znamenke ponavljaju u ciklusu $2$, $4$, $8$, $6$ duljine $4$. Dijeljenjem broja $2026$ s $4$ dobivamo ostatak $2$, pa je posljednja znamenka potencije $2^{2026}$ jednaka $4$.

Za baze $3$, $4$, $7$, $8$ i $9$ na isti način utvrđujemo kako se ponavljanju posljednje znamenke.

	$n=1$	$n=2$	$n=3$	$n=4$
$3^n$	$3$	$9$	$7$	$1$
$4^n$	$4$	$6$	$4$	$6$
$7^n$	$7$	$9$	$3$	$1$
$8^n$	$8$	$4$	$2$	$6$
$9^n$	$9$	$1$	$9$	$1$

Za $n>4$ brojevi u redcima tablice periodički se ponavljaju.

Posljednje znamenke potencija brojeva $3$, $7$ i $8$ periodički se ponavljaju u ciklusima duljine $4$. Budući da je $2026:4=506$ i ostatak $2$, vrijedi da je

• posljednja znamenka potencije $3^{2026}$ znamenka $9$,
• posljednja znamenka potencije $7^{2026}$ znamenka $9$,
• posljednja znamenka potencije $8^{2026}$ znamenka $4$.

Posljednje znamenke potencija brojeva $4$ i $9$ periodički se ponavljaju u ciklusima duljine $2$. Budući da je $2026$ paran broj, vrijedi da je

• posljednja znamenka potencije $4^{2026}$ znamenka $6$,
• posljednja znamenka potencije $9^{2026}$ znamenka $1$.

Zbrajanjem posljednje znamenke svakog člana dobivamo

$$1+4+9+6+5+6+9+4+1+0=45,$$

pa je posljednja znamenka zbroja

$$1^{2026}+2^{2026}+3^{2026}+4^{2026}+5^{2026}+6^{2026}+7^{2026}+8^{2026}+9^{2026}+10^{2026}$$

znamenka $5$.