6. Zadatak

Neka je točka $F$ na dužini $\overline{AE}$ takva da je četverokut $ABCF$ pravokutnik.

Promotrimo dužinu $\overline{CE}$, zajedničku hipotenuzu pravokutnih trokuta $CED$ i $CEF$.

Prema Pitagorinom poučku za trokut $CED$ dobivamo

$$|CE|=\sqrt{|CD|^2+|DE|^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}.$$

Budući da je $|AF|=|BC|$, dobivamo $|FE|=|AE|-|AF|=13-7=6\ \mathrm{cm}$.

Prema Pitagorinom poučku za trokutu $CEF$ dobivamo

$$|FC|=\sqrt{|CE|^2-|FE|^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \mathrm{cm}=|AB|.$$

Budući da vrijedi

$$\begin{aligned} P_{ABCF}&=|AB|\cdot|BC|=8\cdot7=56\ \mathrm{cm}^2,\\ P_{CEF}&=\frac{|FC|\cdot|FE|}{2}=\frac{8\cdot6}{2}=24\ \mathrm{cm}^2,\\ P_{CED}&=\frac{|DC|\cdot|DE|}{2}=\frac{6\cdot8}{2}=24\ \mathrm{cm}^2, \end{aligned}$$

slijedi

$$\begin{aligned} P_{ABCDE}&=P_{ABCF}+P_{CEF}-P_{CED}\\ &=56+24-24\\ &=56\ \mathrm{cm}^2. \end{aligned}$$

Zadatak se može riješiti i uvodeći točku $G$ takvu da je četverokut $ABGE$ pravokutnik.

Tada je $CGE$ također pravokutan trokut s hipotenuzom $\overline{CE}$ i površinom $24\ \mathrm{cm}^2$, te vrijedi

$$P_{ABCDE}=P_{ABGE}-P_{CED}-P_{CGE}=104-24-24=56\ \mathrm{cm}^2.$$