3. Zadatak

Iz $z+z^{-1}=2\cos5^\circ$ nakon množenja brojem $z$ dobivamo kvadratnu jednadžbu:

$$z^2-(2\cos5^\circ)z+1=0.$$

Njezina su rješenja:

$$z_{1,2}=\frac{2\cos5^\circ\pm\sqrt{4\cos^25^\circ-4}}2=\cos5^\circ\pm i\sin5^\circ.$$

Tada je:

$$z^{2022}=(\cos5^\circ\pm i\sin5^\circ)^{2022}=\cos10110^\circ\pm i\sin10110^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\pm\frac12i.$$ $$z^{-2022}=(\cos5^\circ\pm i\sin5^\circ)^{-2022}=\cos(-30^\circ)\pm i\sin(-30^\circ)=\frac{\sqrt3}{2}\mp\frac12i.$$

Konačno, vrijednost traženoga izraza jest:

$$(z^{2022}-z^{-2022})^{2022}=(\pm i)^{2022}=i^{2022}=i^2=-1.$$