7. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo s $x$ stranicu trokuta $ABC$ te ostale stranice kao na skici. Promatrajući površine trokuta sa slike dobivamo sljedeći niz jednakosti:

$$P(ABC)=P(ADF)+P(DBE)+P(CFE)+P(DEF),$$ $$\frac{x^2\sqrt3}{4}=\frac12|AD|\cdot|AF|\sin60^\circ+\frac12|DB|\cdot|BE|\sin60^\circ+\frac12|CE|\cdot|CF|\sin60^\circ+\frac32\sqrt3,$$ $$x^2=3y+(x-3)(x-2)+2(x-y)+6,$$ $$y=3x-12.\qquad(*)$$

Kut $\angle DFC$ vanjski je kut trokuta $ADF$ pa vrijedi:

$$\angle DFC=\angle DAF+\angle FDA=60^\circ+\angle FDA,$$

a kako je $\angle DFC=60^\circ+\angle EFC$, slijedi da je $\angle EFC=\angle FDA$.

Dakle, trokuti $ADF$ i $CFE$ imaju dva sukladna kuta pa su slični prema poučku KK.

Tada vrijedi

$$\frac3{x-y}=\frac y2,$$

iz čega slijedi $xy-y^2=6$.

Uvrstimo li u ovaj izraz $y$ iz jednakosti $(*)$ redom slijedi:

$$x(3x-12)-(3x-12)^2=6,$$ $$3x^2-12x-9x^2+72x-144=6,$$ $$6x^2-60x+150=0,$$ $$x^2-10x+25=0.$$

Rješenje dobivene jednadžbe je $x=5$.

Konačno, $P(ABC)=\frac{25\sqrt3}{4}$.

Drugo rješenje.

Uz oznake kao na slici i prema uvjetu zadatka primjenom formule za površinu trokuta $P=\frac{ab\sin\angle(a,b)}2$ slijedi:

$$P=\frac{ab\sin60^\circ}{2}=\frac{3\sqrt3}{2},$$

odnosno, $ab=6$.

Primijenimo poučak o sinusima na trokute $ADF$ i $FEC$. Tada je:

$$\frac3{\sin\alpha}=\frac a{\sin60^\circ}\qquad\text{i}\qquad\frac2{\sin\beta}=\frac b{\sin60^\circ}.$$

Iz dobivenih jednakosti slijedi da je $a=\frac{3\sqrt3}{2\sin\alpha}$, $b=\frac{\sqrt3}{\sin\beta}$.

Uvrštavanjem $a$ i $b$ u jednakost $ab=6$ dobiva se:

$$\sin\alpha\cdot\sin\beta=\frac34.$$

Kako je $\alpha+\beta=120^\circ$, slijedi da je

$$\sin\alpha\cdot\sin(120^\circ-\alpha)=\frac34.$$

Koristeći formule pretvorbe slijedi:

$$\frac12\left(\cos(2\alpha-120^\circ)-\cos120^\circ\right)=\frac34,$$

odnosno, $\cos(2\alpha-120^\circ)=1$ pa je $\alpha=60^\circ$ i $\beta=60^\circ$.

Zaključujemo da su trokuti $ADF$ i $FEC$ jednakostranični pa je $|AF|=3$, $|FC|=2$.

Slijedi da je $|AB|=5$, a tražena površina $P(ABC)=\frac{25\sqrt3}{4}$.