6. Zadatak

Jedanaest stanara dizalo može prevesti u najmanje dvije vožnje.

Odredimo najprije ukupan broj načina na koji je moguće prevesti sve stanare, bez obzira na posvađanu dvojicu.

U dvije vožnje dizalo može prevoziti: $3$ stanara u prvoj i $8$ stanara u drugoj vožnji ili obratno $8+3$, zatim $4+7$ ili $7+4$ te $5+6$ ili $6+5$.

U prvom slučaju od $11$ stanara biramo njih $3$ koji idu u prvoj vožnji na $\binom{11}{3}=\binom{11}{8}=165$ načina. Očito je isti broj načina i ako se u prvoj vožnji preveze $8$ stanara, a u drugoj njih $3$, pa je ukupan broj načina za prijevoz $3+8$ i $8+3$ jednak $2\binom{11}{3}=330$.

Broj načina da dizalo preveze u prvoj vožnji $4$, a u drugoj $7$ stanara ili obratno iznosi $2\binom{11}{4}=660$.

Broj načina da dizalo preveze u prvoj vožnji $5$, a u drugoj vožnji $6$ stanara ili obratno iznosi $2\binom{11}{5}=924$.

Dakle, ukupan broj načina je

$$2\left(\binom{11}{3}+\binom{11}{4}+\binom{11}{5}\right)=1914.$$

Odredimo i broj načina u kojima su dvojica posvađanih stanara zajedno u dizalu.

U svakoj od kombinacija vožnji $(3+8,8+3,4+7,7+4,5+6,6+5)$ posvađani stanari idu u dizalo zajedno ili u prvoj ili drugoj vožnji i dovoljno je odabrati ostale stanare u dizalu od ukupno $9$ preostalih stanara.

Ako dizalo u prvoj vožnji prevozi $3$ stanara, među kojima su dvojica posvađanih, preostaje odabrati samo jednoga od preostalih $9$ stanara što možemo napraviti na $\binom91=9$ načina. Ako dizalo u prvoj vožnji prevozi $3$ stanara, a među njima nisu dvojica posvađanih, onda je broj načina jednak $\binom93=84$.

Ako dizalo u prvoj vožnji prevozi $8$ stanara, među kojima su dvojica posvađanih, biramo $6$ stanara od preostalih $9$ na $\binom96=84$ načina. Ako su dvojica posvađanih u drugoj vožnji, broj načina odabira preostalog člana jest $\binom91=9$.

Ukupan broj načina u kombinaciji vožnji $3+8$ i $8+3$ jednak je $2\left(\binom91+\binom96\right)=186$.

Analogno ćemo računati i za preostale slučajeve.

U kombinaciji vožnji $4+7$ i $7+4$ jednak je $2\left(\binom92+\binom95\right)=324$.

U kombinaciji vožnji $5+6$ i $6+5$ jednak je $2\left(\binom93+\binom94\right)=420$.

Konačno, vjerojatnost da se posvađani stanari nađu zajedno u liftu je:

$$\frac{2\left(\binom91+\binom92+\binom93+\binom94+\binom95+\binom96\right)}{1914}=\frac{930}{1914}=\frac{155}{319}.$$