5. Zadatak

Zapišimo danu jednadžbu na sljedeći način:

$$\log_{\sin x}y-\frac32\cdot\frac1{\log_{\sin x}y}=\frac12.$$

Uvedimo supstituciju $t=\log_{\sin x}y$ čime ova jednadžba prelazi u

$$t-\frac32\cdot\frac1t=\frac12.$$

Uočimo da vrijedi $t=\log_{\sin x}y<0$ zbog $y>1$ i $0<\sin x<1$ pa je gornja jednadžba ekvivalenta s $2t^2-t-3=0$.

Rješenja ove kvadratne jednadžbe su $t_1=-1$ i $t_2=\frac32$.

Dakle, $\log_{\sin x}y=-1$ ili $\log_{\sin x}y=\frac32$, odnosno:

$$y=\frac1{\sin x}\qquad\text{ili}\qquad y=(\sin x)^{\frac32}.$$

Rješenje $y=(\sin x)^{\frac32}$ odbacujemo jer je $y>1$, a $(\sin x)^{\frac32}\leq1$.

Na zadanome intervalu $\left[\frac\pi6,\frac\pi3\right]$ vrijedi $\frac\pi6\leq x\leq\frac\pi3$, a kako je funkcija sinus rastuća na tom intervalu, slijedi:

$$\sin\frac\pi6\leq\sin x\leq\sin\frac\pi3,$$

odnosno,

$$\frac12\leq\sin x\leq\frac{\sqrt3}{2},$$

pa je

$$\frac2{\sqrt3}\leq\frac1{\sin x}\leq2.$$

Dakle, $y\in\left[\frac2{\sqrt3},2\right]$.

Budući je $y$ prirodan broj i $y>1$, jedino je rješenje $y=2$.