1. Zadatak

Zbroj binomnih koeficijenata posljednja tri člana jednak je zbroju binomnih koeficijenata prva tri člana pa možemo pisati:

$$\binom nn+\binom n{n-1}+\binom n{n-2}=22$$

ili

$$\binom n0+\binom n1+\binom n2=22.$$

Nakon raspisivanja binomnih koeficijenata i sređivanja dobivamo kvadratnu jednadžbu $n^2+n-42=0$ čija su rješenja $n_1=-7$ i $n_2=6$.

Budući je $n$ prirodan broj, jedino moguće rješenje je $n=6$.

Označimo s $T_{k+1}$ $(k+1)$. član u razvoju binoma $(a+b)^n$. Tada je $T_{k+1}=\binom nk a^{n-k}b^k$ pa su treći i peti član razvoja binoma jednaki:

$$T_3=\binom62(\sqrt{2^x})^4\left(2^{\frac{-x+1}{2}}\right)^2=15\cdot2^{x+1},$$ $$T_5=\binom64(\sqrt{2^x})^2\left(2^{\frac{-x+1}{2}}\right)^4=15\cdot2^{2-x}.$$

Prema uvjetu zadatka je $T_3+T_5=135$ pa treba riješiti jednadžbu

$$15\cdot2^{x+1}+15\cdot2^{2-x}=135.$$

Uvođenjem supstitucije $2^x=t$ dobivamo $2t^2-9t+4=0$, odnosno, $t_1=\frac12$ i $t_2=4$.

Iz $2^x=t$, tražene vrijednosti su $x_1=-1$ i $x_2=2$.