5. Zadatak

Utvrdit ćemo da je za $p>3$ broj $p^2+11$ djeljiv s 12. Broj 12 ima 6 različitih djelitelja: 1, 2, 3, 4, 6 i 12. Kako je $p^2+11>12$, time će tvrdnja biti dokazana.

Uočimo da je $p^2+11=p^2-1+12=(p-1)(p+1)+12$. Od tri uzastopna broja $p-1$, $p$, $p+1$, jedan mora biti djeljiv s 3. To svakako nije prost broj $p$, već jedan od brojeva $p-1$ ili $p+1$. Osim toga, broj $p$ je neparan, pa su $p-1$ i $p+1$ dva uzastopna parna broja. Zato je jedan od njih sigurno djeljiv s 4, a drugi je djeljiv s 2.

Prema tome je $(p-1)(p+1)$ djeljiv s 24. Zato je $p^2+11$ djeljiv s 12.