4. Zadatak

Označimo polumjer veće kugle s $R$, stranicu oktaedra s $a$ i polumjer manje kugle s $r$. Računamo: $$a=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2R^2}=R\sqrt2$$

Iz trokuta $SPE$ računamo $$v=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt3}{2}\right)^2-\left(\frac a2\right)^2}=a\frac{\sqrt2}2,$$ gdje je $\frac{a\sqrt3}{2}$ visina trokuta $BCE$. Trokut $GSE$ sličan je trokutu $SPE$ pa je $$\frac rv=\frac{\frac a2}{\frac{a\sqrt3}2}\Longrightarrow r=\frac v{\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt2}2\cdot a=\frac{\sqrt2}{\sqrt3\cdot2}\cdot R\cdot\sqrt2=\frac R{\sqrt3}.$$ Omjer volumena opisane i upisane kugle pravilnom oktaedru je $$\left(\frac Rr\right)^3=3\sqrt3.$$