1. Zadatak

Prvo rješenje.

Zapišimo kvadratnu funkciju u obliku $f(x)=ax^2+bx+c$, $a,b,c\in\mathbb{Q}$, $a\neq0$.

Ako je $x_1=\sqrt{2}-1$ jedna njena nultočka, druga nultočka je $x_2=-\sqrt{2}-1$.

Primjenom Vièteovih formula slijedi

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2$$ $$x_1x_2=\frac{c}{a}=-1.$$

Kako je $-4$ najmanja vrijednost funkcije, primjenit ćemo formulu za ordinatu tjemena:

$$\frac{4ac-b^2}{4a}=-4.$$

Rješenja dobivenog sustava od tri jednadžbe s tri nepoznanice su $a=2$, $b=4$, $c=-2$.

Tražena je kvadratna funkcija $f(x)=2x^2+4x-2$.

Drugo rješenje.

Ako je $x_1=\sqrt{2}-1$ jedna nultočka, druga nultočka je $x_2=-\sqrt{2}-1$.

Tada za $x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}=-1$ funkcija ima zadanu najmanju vrijednost $y_0=f(x_0)=-4$.

Zapišimo kvadratnu funkciju u obliku:

$$\begin{aligned} f(x)&=a(x-x_1)(x-x_2)\\ &=a(x-\sqrt{2}+1)(x+\sqrt{2}+1)\\ &=a(x^2+2x-1). \end{aligned}$$

Kako je $f(-1)=-4$, iz gornje jednakosti slijedi

$$-4=a(1-2-1),$$

odnosno $a=2$.

Tražena je kvadratna funkcija $f(x)=2x^2+4x-2$.