6. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $a$ i $b$ katete pravokutnog trokuta, a $c$ hipotenuza.

Tada je polumjer upisane kružnice $r=\dfrac{a+b-c}{2}=2$.

Iz sustava

$$\begin{cases} a+b+c=24,\\ a+b-c=4 \end{cases}$$

dobivamo da je $c=10$ cm.

Primijenimo li Pitagorin poučak slijedi

$$a^2+b^2=c^2\qquad\text{i}\qquad a+b-c=4,$$

odnosno $a+b=14$, pa treba riješiti sustav

$$\begin{cases} a^2+b^2=100,\\ a+b=14. \end{cases}$$

Uvrštavanjem $b=14-a$ u jednadžbu $a^2+b^2=100$ sustav svodimo na jednadžbu

$$a^2+(14-a)^2=100.$$

Slijedi $a^2-14a+48=0$. Rješenja ove jednadžbe su $a_1=6$, $a_2=8$.

Tada je $b_1=8$, $b_2=6$.

Dakle, duljine stranica danoga trokuta su $6$ cm, $8$ cm, $10$ cm.

Drugo rješenje.

Neka su $a$ i $b$ katete pravokutnog trokuta, a $c$ hipotenuza.

Površina pravokutnog trokuta jednaka je $P=\dfrac{ab}{2}$ i $P=r\cdot s$, gdje je $r$ polumjer upisane kružnice, a $s$ poluopseg trokuta. Iz jednakosti površina dobivamo $ab=2rs=48$.

U pravokutnom trokutu vrijedi Pitagorin poučak te imamo sljedeće jednakosti, odnosno sustav jednadžbi:

$$\begin{cases} a+b+c=24,\\ ab=48,\\ a^2+b^2=c^2. \end{cases}$$

Ako iz prve jednadžbe izrazimo $a+b$ i kvadriramo slijedi redom:

$$a+b=24-c$$ $$(a+b)^2=(24-c)^2$$ $$a^2+b^2+2ab=576-48c+c^2.$$

Budući da je $c^2=a^2+b^2$ i $ab=48$, slijedi

$$c^2+96=576-48c+c^2\Longrightarrow48c=576-96=480.$$

Dakle, duljina hipotenuze je $10$ cm.

Uvrstimo li $c=10$ u jednakost $a+b=24-c$ tada iz sustava

$$\begin{cases} a+b=14,\\ ab=48 \end{cases}$$

slijedi jednadžba $a^2-14a+48=0$ koja ima rješenja $a_1=8$ i $a_2=6$.

Slijedi da je $b_1=6$ i $b_2=8$.

Dakle, duljine stranica danoga trokuta su $6$ cm, $8$ cm, $10$ cm.