5. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $x_0$ zajedničko rješenje. Tada vrijedi:

$$x_0^2-45x_0+4a+4=0\qquad\text{i}\qquad x_0^2-47x_0+5a-4=0.$$

Oduzmemo li ove dvije jednadžbe dobivamo da je $x_0=\dfrac{a-8}{2}$.

Uvrstimo li dobiveni izraz za $x_0$ u prvu jednadžbu, dobivamo jednadžbu samo s nepoznanicom $a$:

$$\left(\frac{a-8}{2}\right)^2-45\left(\frac{a-8}{2}\right)+4a+4=0,$$

odnosno nakon sređivanja

$$a^2-90a+800=0.$$

Njezina su rješenja $a=80$ i $a=10$. Budući da je $a<20$, slijedi $a=10$.

Tada zadane jednadžbe prelaze u jednadžbe

$$x^2-45x+44=0\qquad\text{i}\qquad x^2-47x+46=0,$$

čija su rješenja $x_0=1$, $x_1=44$, odnosno $x_0=1$, $x_2=46$.

Traženi je umnožak $x_1\cdot x_2=44\cdot46=2024$.

Drugo rješenje.

Neka je $x_0$ zajedničko rješenje. Tada vrijedi:

$$x_0^2-45x_0+4a+4=0\qquad\text{i}\qquad x_0^2-47x_0+5a-4=0.$$

Oduzmemo li ove dvije jednadžbe dobivamo da je $x_0=\dfrac{a-8}{2}$.

Vièteove formule za prvu jednadžbu glase:

$$x_0+x_1=45$$ $$x_0x_1=4a+4.$$

Uvrstimo li $x_0$ u drugu formulu dobivamo:

$$\frac{a-8}{2}\cdot x_1=4a+4,$$

odnosno $x_1=\dfrac{8(a+1)}{a-8}$, $a\neq8$.

Uvrstimo li $x_0$ i $x_1$ u prvu formulu dobivamo jednadžbu

$$\frac{a-8}{2}+\frac{8a+8}{a-8}=45,$$

odnosno $a^2-900a+800=0$.

Kako je $a<20$ rješenje jednadžbe je $a=10$.

Koristeći navedene Vièteove formule dobivamo tražena rješenja:

$$x_0=\frac{a-8}{2}=1,\qquad x_1=45-1=44,$$

a iz $x_0+x_2=47$ je $x_2=46$.

Traženi umnožak iznosi $x_1\cdot x_2=44\cdot46=2024$.