3. Zadatak

Uočimo da se izraz sastoji od umnoška razlomaka oblika:

$$\frac{1+\frac{1}{2n+1}}{\sqrt{1-\frac{1}{(2n+1)^2}}}.$$

Napišimo ga u jednostavnijem obliku. Uočimo da je u nazivniku razlika kvadrata i unesimo brojnik pod isti korijen. Tada je redom:

$$\begin{aligned} \frac{1+\frac{1}{2n+1}}{\sqrt{1-\frac{1}{(2n+1)^2}}} &=\sqrt{\frac{\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)^2}{\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)}}\\ &=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{2n+1}}{1-\frac{1}{2n+1}}} =\sqrt{\frac{2n+2}{2n}} =\sqrt{\frac{n+1}{n}}. \end{aligned}$$

Konačno, prikažemo li svaki član početnog izraza u ovom obliku slijedi da je traženi umnožak jednak

$$\sqrt{\frac21\cdot\frac32\cdot\frac43\cdot\frac54\cdot\frac65\cdots\frac{n+1}{n}\cdots\frac{2023}{2022}\cdot\frac{2024}{2023}}=\sqrt{2024}.$$