4. Zadatak
Učiteljica ima nekoliko bombona koje želi podijeliti učenicima koji dođu na dodatnu nastavu iz matematike tako da svatko dobije jednak broj bombona i niti jedan bombon ne ostane.
- Ako dođu dva učenika, ne može svaki učenik dobiti isti broj bombona.
- Ako dođu tri učenika, svaki će od njih dobiti isti broj bombona.
- Ako dođu četiri učenika, svaki će od njih dobiti isti broj bombona.
- Ako dođe pet učenika, svaki će od njih dobiti isti broj bombona.
- Ako dođe šest učenika, ne može svaki učenik dobiti isti broj bombona.
Ako je poznato da samo jedna od navedenih tvrdnji nije istinita, koliko najmanje bombona može imati učiteljica?
Neka je traženi broj bombona. Tada navedene tvrdnje možemo zapisati u sljedećem obliku:
- nije višekratnik broja ;
- je višekratnik broja ;
- je višekratnik broja ;
- je višekratnik broja ;
- nije višekratnik broja .
Ako nije istinita 1. tvrdnja, istinite su sve tvrdnje od 2. – 5. pa vrijedi da je višekratnik brojeva i , što je u kontradikciji s činjenicom da nije višekratnik broja . To znači da je 1. tvrdnja istinita.
Kako je 1. tvrdnja istinita, je neparan broj, pa 3. tvrdnja mora biti lažna, a sve ostale istinite.
Zaključujemo da je neparni višekratnik brojeva i .
Najmanji broj bombona koje učiteljica može imati jednak je jer tražimo najmanji neparni zajednički višekratnik od i .