6. Zadatak

Neka su duljine stranice upisanoga pravokutnika $x$ i $y$, kao na slici. Osjenčanu površinu računamo kao razliku površine trokuta $ABC$ i pravokutnika $KLMN$:

$$P=P_{\triangle ABC}-P_{\square KLMN}=\frac{16\cdot12}{2}-xy=96-xy.$$

Izrazimo funkciju površine u jednoj varijabli. U tu svrhu povezat ćemo veličine $x$ i $y$ koristeći sličnost između trokuta $ABC$ i $NMC$.

Iz sličnosti tih trokuta slijedi $16:x=12:(12-y)$, odnosno $16(12-y)=12x$.

Slijedi

$$y=12-\frac34x.$$

Tada je $P=96-xy=96-x(12-\frac34x)=96-12x+\frac34x^2$.

Dakle, površina je kvadratna funkcija

$$P(x)=\frac34x^2-12x+96.$$

Kvadratna funkcija poprima minimum za

$$x=x_{\min}=-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{-\frac32}=8\ \mathrm{cm}.$$

Tada je $y=12-\frac34x=12-\frac34\cdot8=6$ cm.

Stranice pravokutnika su $8$ cm i $6$ cm, a minimalna osjenčana površina jest

$$P=96-48=48\ \mathrm{cm}^2.$$

Napomena: Učenik može dobiti i kvadratnu funkciju po $y$ ako izrazi $x=16-\dfrac43y$. Tada je

$$P(y)=\frac43y^2-16y+96 \quad \text{i} \quad y=y_{\min}=-\frac{b}{2a}=-\frac{16}{-\frac83}=6.$$

Također učenik može tražiti maksimalnu vrijednost površine pravokutnika ($48\ \mathrm{cm}^2$) jer je osjenčana površina minimalna kad je površina pravokutnika maksimalna.