3. Zadatak

Neka je $n$ prvi broj u nizu od $k+1$ uzastopnih brojeva, $k\geq1$. Tada je

$$\begin{aligned} 455&=n+(n+1)+(n+2)+\cdots+(n+k)\\ &=(k+1)n+(1+2+3+\cdots+k)\\ &=(k+1)n+\frac{k(k+1)}2 =\frac{(k+1)(2n+k)}2, \end{aligned}$$

pa slijedi $910=(2n+k)(k+1)$.

Rastav broja 910 na proste faktore je $910=2\cdot5\cdot7\cdot13$.

Uočimo da su brojevi $(2n+k)$ i $(k+1)$ različite parnosti, što znači da jedna od zagrada mora biti jednaka parnom djelitelju od 910, a to su brojevi $2$, $10$, $14$, $26$, $70$, $130$, $182$.

Uz činjenicu da je $2n+k>k+1$ dobivamo 7 linearnih sustava čijim rješavanjem dolazimo do brojeva $n$ i $k$:

$$\begin{array}{cccc} \begin{aligned}k+1&=2\\2n+k&=455\end{aligned}& \begin{aligned}k+1&=10\\2n+k&=91\end{aligned}& \begin{aligned}k+1&=14\\2n+k&=65\end{aligned}& \begin{aligned}k+1&=26\\2n+k&=35\end{aligned}\\[1em] \begin{aligned}k+1&=13\\2n+k&=70\end{aligned}& \begin{aligned}k+1&=7\\2n+k&=130\end{aligned}& \begin{aligned}k+1&=5\\2n+k&=182.\end{aligned} \end{array}$$

Svaki od tih sustava ima jedinstveno rješenje, pa je ukupno 7 načina da se broj 455 prikaže kao traženi zbroj.