4. Zadatak

Traženi brojevi mogu biti troznamenkasti ili četveroznamenkasti brojevi. To su brojevi oblika

$1^\circ$ $\overline{xxx}$, $x\neq0$, $x\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

Troznamenkastih brojeva kojima su tri znamenke jednake ima točno 9.

$2^\circ$ $\overline{xxx0}$, $\overline{xx0x}$, $\overline{x0xx}$, $x\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

Četveroznamenkastih brojeva kojima su tri znamenke jednake, a četvrta je 0 ima $9\cdot3=27$.

(Znamenku $x$ možemo odabrati na 9 načina, za svaki od 3 moguća odabira mjesta za znamenku 0.)

$3^\circ$ $\overline{xxxy}$, $\overline{xxyx}$, $\overline{xyxx}$, $\overline{yxxx}$, $x\neq y$, $x,y\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

Četveroznamenkastih brojeva kojima su tri znamenke jednake, a četvrta je različita od 0, ukupno je $9\cdot8\cdot4=288$.

$4^\circ$ $\overline{x000}$, $x\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Ovakvih brojeva je 9.

Ukupno je $9+27+288+9=333$ brojeva s traženim svojstvom.

Treba još izračunati zbroj brojeva manjih od 10000 kojima su točno tri znamenke jednake, a znamenka jedinica im je jednaka 1.

Brojevi koje treba zbrojiti mogu imati točno tri jedinice ili točno jednu jedinicu.

Ako su točno tri jedinice računamo zbroj brojeva oblika

$$111,\quad 1101,\quad 1011,\quad \overline{11x1},\quad \overline{1x11},\quad \overline{x111},$$

gdje je $x\in\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Zbroj prva tri broja iznosi 2223. Preostale brojeve možemo zbrajati kao

$$1000\cdot(1+1+x)+100\cdot(1+1+x)+10\cdot(1+1+x)+3\cdot1 =1110\cdot(2+x)+3,$$

za sve brojeve $x\in\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

Kako je $2+3+4+5+6+7+8+9=44$, slijedi

$$[1110\cdot(2+2)+3]+[1110\cdot(2+3)+3]+\cdots+[1110\cdot(2+9)+3] =1110\cdot(8\cdot2+44)+8\cdot3=66624.$$

Ako je točno jedna jedinica, dakle samo ona koja je na mjestu jedinica, brojevi su oblika $\overline{xxx1}$, $x\neq0,1$. Njihov je zbroj

$$2221+3331+\cdots+9991=44\cdot1110+8\cdot1=48848.$$

Ukupan zbroj je $2223+66624+48848=117695$.