5. Zadatak

Neka je $a=\overline{BC}$, $b=\overline{AC}$ i $c=\overline{AB}$.

Dužine $\overline{DE}$ i $\overline{FG}$ su tetive kružnice, pa se njihove simetrale sijeku u središtu dane kružnice. Simetrala dužine $\overline{DE}$ siječe hipotenuzu $\overline{AB}$ u točki $S$. Simetrala dužine $\overline{FG}$ paralelna je sa stranicom $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ te siječe katetu $\overline{AC}$ u polovištu $R$.

Tada zbog Talesovog poučka o proporcionalnim dužinama, (ili sličnosti trokuta $ASR$ i $ABC$) hipotenuzu siječe u polovištu, odnosno točki $S$.

(Ovaj se zaključak može izvesti i iz činjenice da su simetrale stranica $\overline{DE}$ i $\overline{FG}$ ujedno i simetrale stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$, a simetrale stranica u pravokutnom trokutu sijeku se u polovištu hipotenuze.)

Zaključujemo da se središte kružnice nalazi u polovištu hipotenuze i da je $|RS|=\dfrac a2$. Tada je $|SE|=|SG|=r$. Pitagorin poučak primijenjen na trokut $SAE$ nam daje

$$\begin{aligned} |SA|^2+|AE|^2&=|SE|^2\\ \left(\frac c2\right)^2+c^2&=r^2\\ r^2&=36+144=180. \end{aligned}$$

U trokutu $GQS$ vrijedi $|SQ|^2+|QG|^2=|GS|^2$ odnosno

$$\begin{aligned} \left(\frac a2+b\right)^2+\left(\frac b2\right)^2&=r^2=180\\ \frac{a^2}{4}+ab+b^2+\frac{b^2}{4}&=180\\ ab+b^2&=144. \end{aligned}$$

Kako je $a^2+b^2=144$ (Pitagorin poučak u trokutu $ABC$), slijedi $ab-a^2=0$, tj. $a(b-a)=0$.

Ovo je moguće samo ako je $a=b$. Tada je $2a^2=144$ te $a=6\sqrt2$.

Opseg trokuta $ABC$ iznosi $o=a+b+c=2a+c=12\sqrt2+12$.