6. Zadatak

Prvo rješenje.

Izrazimo najprije nepoznanicu $y$ iz jednadžbe $\sqrt{x+y}=4$.

$$\sqrt{x+y}=4\quad /^2$$ $$x+y=16$$ $$y=16-x$$

Uvrštavanjem $y=16-x$ u gornju jednadžbu dobiva se jednadžba

$$\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{x-9}=-1.$$

Kubiranjem dobivamo

$$2-x+3\sqrt[3]{(2-x)^2(x-9)}+3\sqrt[3]{(2-x)(x-9)^2}+x-9=-1.$$ $$3\sqrt[3]{(2-x)^2(x-9)}+3\sqrt[3]{(2-x)(x-9)^2}=6\quad /:3$$ $$\sqrt[3]{(2-x)^2(x-9)}+\sqrt[3]{(2-x)(x-9)^2}=2$$ $$\sqrt[3]{(2-x)(x-9)}\left(\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{x-9}\right)=2$$

Uočimo da u jednadžbu možemo uvrstiti vrijednost izraza $\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{x-9}=-1$.

$$\sqrt[3]{(2-x)(x-9)}\cdot(-1)=2$$ $$\sqrt[3]{(2-x)(x-9)}=-2\quad /^3$$ $$-x^2+11x-18=-8$$ $$x^2-11x+10=0$$ $$(x-1)(x-10)=0$$

Rješenja jednadžbe su brojevi $x_1=1$ i $x_2=10$.

Odredimo i pripadne vrijednosti nepoznanice $y$.

$$y_1=16-1=15$$ $$y_2=16-10=6$$

Rješenja sustava jednadžbi uređeni su parovi $(1,15)$ i $(10,6)$.

Drugo rješenje.

Izrazimo najprije nepoznanicu $y$ iz jednadžbe $\sqrt{x+y}=4$.

$$\sqrt{x+y}=4\quad /^2$$ $$x+y=16$$ $$y=16-x$$

Uvrštavanjem $y=16-x$ u gornju jednadžbu dobiva se jednadžba

$$\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{x-9}=-1.$$

Uvedimo supstituciju $t^3=2-x$. Tada je $x=2-t^3$.

Posljednja jednadžba prelazi u

$$t+\sqrt[3]{-7-t^3}=-1,$$

odnosno

$$\sqrt[3]{7+t^3}=t+1.$$

Kubirajmo lijevu i desnu stranu jednadžbe.

$$7+t^3=t^3+3t^2+3t+1$$ $$3t^2+3t-6=0$$

Rješenja ove kvadratne jednadžbe su $t_1=-2$ i $t_2=1$.

Tada je $x_1=2-(-2)^3=10$ i $x_2=2-1^3=1$.

Odredimo i pripadne vrijednosti nepoznanice $y$.

$$y_1=16-1=15$$ $$y_2=16-10=6$$

Rješenja sustava jednadžbi uređeni su parovi $(1,15)$ i $(10,6)$.

Treće rješenje.

Izrazimo najprije nepoznanicu $y$ iz jednadžbe $\sqrt{x+y}=4$.

$$\sqrt{x+y}=4\quad /^2$$ $$x+y=16$$ $$y=16-x$$

Uvrštavanjem $y=16-x$ u gornju jednadžbu dobiva se jednadžba

$$\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{x-9}=-1.$$

Uvedimo supstituciju $u=\sqrt[3]{2-x}$ i $v=\sqrt[3]{x-9}$.

Polazna jednadžba poprima oblik $u+v=-1$.

Uočimo da vrijedi: $u^3+v^3=(2-x)+(x-9)=-7$.

Kubiranjem jednakosti $u+v=-1$ dobiva se:

$$u^3+3u^2v+3uv^2+v^3=-1$$ $$u^3+v^3+3uv(u+v)=-1$$

Uvrštavanjem vrijednosti izraza $u+v$ i $u^3+v^3$ može se odrediti vrijednost umnoška $uv$.

$$-7+3uv(-1)=-1$$ $$-3uv=6$$ $$uv=-2$$

Riješimo sustav jednadžbi

$$\begin{cases} u+v=-1,\\ uv=-2. \end{cases}$$

Izrazimo nepoznanicu $v$ iz prve jednadžbe sustava, uvrstimo je u drugu i odredimo rješenja dobivene kvadratne jednadžbe.

$$v=-1-u$$ $$u(-1-u)=-2$$ $$-u^2-u+2=0$$

U prvome slučaju vrijedi da je $u=-2$ (odnosno, $v=1$).

Tada je: $u=\sqrt[3]{2-x}=-2$, to jest $x_1=10$.

U drugome slučaju vrijedi da je $u=1$ (odnosno, $v=-2$).

Tada je: $u=\sqrt[3]{2-x}=1$, to jest $x_2=1$.

Odredimo i pripadne vrijednosti nepoznanice $y$.

$$y_1=16-1=15$$ $$y_2=16-10=6$$

Rješenja sustava jednadžbi uređeni su parovi $(1,15)$ i $(10,6)$.