4. Zadatak

Prvo rješenje.

U skupu brojeva $\{1,2,\ldots,2022,2023\}$ nalazi se:

• $405$ brojeva koji pri dijeljenju s $5$ daju ostatak $1$
• $405$ brojeva koji pri dijeljenju s $5$ daju ostatak $2$
• $405$ brojeva koji pri dijeljenju s $5$ daju ostatak $3$
• $404$ broja koji pri dijeljenju s $5$ daju ostatak $4$
• $404$ broja djeljiva brojem $5$.

Zbroj dvaju odabranih brojeva bit će djeljiv s $5$ u tri slučaja.

1. slučaj: oba broja djeljiva su brojem $5$.

Prvi broj možemo izabrati na $404$ načina, a drugi na $403$ načina jer brojevi moraju biti različiti.

Postoji

$$\frac{404\cdot403}{2}=81\,406$$

načina (dijelimo s $2$ jer smo svaki par brojeva brojili dvaput).

2. slučaj: jedan broj daje ostatak $1$, a drugi ostatak $4$ pri dijeljenju brojem $5$.

Postoji $405\cdot404=163\,620$ načina na koje možemo odabrati takva dva broja.

3. slučaj: jedan broj daje ostatak $2$, a drugi ostatak $3$ pri dijeljenju brojem $5$.

Postoji $405\cdot405=164\,025$ načina na koje možemo odabrati takva dva broja.

Ukupno postoji

$$81\,406+163\,620+164\,025=409\,051$$

način na koji to možemo učiniti.

Drugo rješenje.

U skupu $\{1,2,\ldots,2022,2023\}$ zadnju znamenku $1$, $2$ ili $3$ imaju po $203$ broja, dok znamenkom $0$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ ili $9$ završavaju po $202$ broja.

Zbroj je djeljiv brojem $5$ ako mu je zadnja znamenka $0$ ili $5$.

1. slučaj: zadnja znamenka zbroja iznosi $0$.

zadnja znamenka jednoga broja	zadnja znamenka drugoga broja	broj mogućnosti
$0$	$0$	$\dfrac{202\cdot201}{2}=20\,301$
$1$	$9$	$203\cdot202=41\,006$
$2$	$8$	$203\cdot202=41\,006$
$3$	$7$	$203\cdot202=41\,006$
$4$	$6$	$202\cdot202=40\,804$
$5$	$5$	$\dfrac{202\cdot201}{2}=20\,301$

U prvome je slučaju $2\cdot20\,301+3\cdot41\,006+40\,804=204\,424$ mogućnosti.

2. slučaj: zadnja znamenka zbroja iznosi $5$.

zadnja znamenka jednoga broja	zadnja znamenka drugoga broja	broj mogućnosti
$0$	$5$	$202\cdot202=40\,804$
$1$	$4$	$203\cdot202=41\,006$
$2$	$3$	$203\cdot203=41\,209$
$6$	$9$	$202\cdot202=40\,804$
$7$	$8$	$202\cdot202=40\,804$

U drugome je slučaju $3\cdot40\,804+41\,006+41\,209=204\,627$ mogućnosti.

Ukupno postoji $204\,424+204\,627=409\,051$ način izbora dva tražena broja.