3. Zadatak

Skicirajmo trokut $ABC$, uvedimo oznake za duljine stranica i veličine kutova te označimo zadane elemente: $c=3\sqrt3\ \mathrm{cm}$, $b-2a=3\ \mathrm{cm}$, $\beta=150^\circ$.

Prema poučku o kosinusu vrijedi: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta$.

$$\cos\beta=\cos150^\circ=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$$ $$(3+2a)^2=a^2+(3\sqrt3)^2-2a\cdot3\sqrt3\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)$$ $$9+12a+4a^2=27+a^2+9a$$ $$3a^2+3a-18=0$$ $$a^2+a-6=0$$ $$(a-2)(a+3)=0$$

$a=2\ \mathrm{cm}$ (jer duljina stranice ne može iznositi $a=-3\ \mathrm{cm}$)

$b=7\ \mathrm{cm}$

Sinus traženoga kuta odredimo s pomoću poučka o sinusima:

$$\frac{c}{\sin\gamma}=\frac{b}{\sin\beta}$$ $$\frac{3\sqrt3}{\sin\gamma}=\frac7{\sin150^\circ}$$ $$\sin\gamma=\frac{3\sqrt3\cdot\frac12}{7}=\frac{3\sqrt3}{14}$$