7. Zadatak

Zadan je jednakokračan trokut $ABC$ s osnovicom $AB$ duljine $14\ \mathrm{cm}$ i krakovima duljine $25\ \mathrm{cm}$ . Točka $P$ polovište je osnovice $AB$ . Na stranici $BC$ odabrana je točka $Q$ , a na stranici $AC$ točka $R$ tako da je $AB\parallel QR$ i da je površina trokuta $PQR$ najveća moguća. Odredite opseg i površinu trokuta $PQR$ .

Skicirajmo trokut $ABC$ i označimo zadane elemente.

Skica trokuta ABC i PQR

Budući je $P$ polovište osnovice $AB$ , znamo da je dužina $CP$ visina trokuta $ABC$ .

Primjenom Pitagorina poučka na trokut $APC$ možemo odrediti da je

|CP|=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{(25-7)(25+7)}=\sqrt{18\cdot32}=\sqrt{9\cdot2\cdot2\cdot16}=3\cdot2\cdot4=24\ \mathrm{cm}.

Neka je $S$ sjecište dužina $CP$ i $QR$ .

Označimo $x=|RS|$ . Možemo uočiti da zbog simetrije vrijedi da je i $|SQ|=x$ .

Kako vrijedi $AB\parallel QR$ , možemo zaključiti da su trokuti $APC$ i $RSC$ slični po $KK$ poučku o sličnosti (jedan zajednički kut, kutovi uz presječnicu $AC$ usporednih pravaca $AB$ i $RQ$ ).

Zbog sličnosti trokuta znamo da vrijedi jednakost

\frac{|RS|}{|AP|}=\frac{|CS|}{|CP|},

odnosno

\frac{x}{7}=\frac{|CS|}{24}.

Možemo izraziti $|CS|=\dfrac{24}{7}x$ .

Površina trokuta $PQR$ jednaka je

P(PQR)=\frac{|QR|\cdot|PS|}{2}.

Vrijedi da je $|QR|=2x$ i da je $|PS|=|CP|-|CS|=24-\dfrac{24}{7}x$ .

Stoga je

P(PQR)=\frac{2x\cdot\left(24-\frac{24}{7}x\right)}{2}=24x-\frac{24}{7}x^2.

Budući je površina trokuta $PQR$ najveća moguća, uz oznake $a=-\dfrac{24}{7}$ i $b=24$ znamo da mora biti

x=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2\cdot\left(-\frac{24}{7}\right)}=\frac72=3.5\ \mathrm{cm}.

Površina trokuta $PQR$ iznosi

P(PQR)=24\cdot\frac72-\frac{24}{7}\cdot\frac{49}{4}=84-42=42\ \mathrm{cm}^2.

Preostalo je još odrediti opseg trokuta $PQR$ .

o(PQR)=|PQ|+|QR|+|RP|=2x+2|PQ|=7+2|PQ|

Kako bismo odredili $|PQ|$ , primijenimo Pitagorin poučak na trokut $PQS$ .

|PS|=24-\frac{24}{7}x=24-\frac{24}{7}\cdot\frac72=24-12=12\ \mathrm{cm}

|PQ|=\sqrt{\left(\frac72\right)^2+12^2}=\sqrt{\frac{49}{4}+144}=\sqrt{\frac{625}{4}}=\frac{25}{2}=12.5\ \mathrm{cm}

Konačno je $o(PQR)=7+25=32\ \mathrm{cm}$ .

Učenik može odrediti opseg trokuta $PQR$ i tako da iz rezultata $x=3.5\ \mathrm{cm}$ zaključi kako je $QR$ srednjica trokuta $ABC$ . Iz tog zaključka slijedi da su $PQ$ i $PR$ također srednjice trokuta $ABC$ pa je $|PQ|=|PR|=\dfrac12\cdot25=12.5\ \mathrm{cm}$ , odnosno $o(PQR)=7+2\cdot12.5=32\ \mathrm{cm}$ .