5. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo s $r_1$ i $r_2$ polumjere kružnica $k_1$ i $k_2$. Neka je $E$ polovište tetive $AB$ i $x=|BE|$.

Kut $\angle ACB$ je obodni nad lukom $\widehat{AB}$ pa je njegov središnji kut $\angle AS_1B=120^\circ$, odnosno $\angle ES_1B=60^\circ$.

Kut $\angle BDA$ je obodni nad lukom $\widehat{BA}$ pa je njegov središnji kut $\angle BS_2A=60^\circ$, odnosno $\angle BS_2E=30^\circ$.

Trokut $S_1S_2B$ je pravokutan pa vrijedi

$$r_1^2+r_2^2=(4\sqrt3)^2=48.$$

U pravokutnome trokutu $EBS_1$ vrijedi da je

$$\sin60^\circ=\frac{x}{r_1}=\frac{\sqrt3}{2},$$

odnosno $r_1=\dfrac{2x}{\sqrt3}$.

Na isti se način iz pravokutnoga trokuta $EBS_2$ dobiva da je

$$\sin30^\circ=\frac{x}{r_2}=\frac12,$$

odnosno vrijedi da je $r_2=2x$.

Uvrstimo dobivene izraze u jednakost $r_1^2+r_2^2=48$.

Iz jednadžbe

$$\frac{4x^2}{3}+4x^2=48$$

dobivamo da je $x^2=9$, odnosno da je $x=3\ \mathrm{cm}$.

Konačno, zaključujemo da je $|AB|=2x=6\ \mathrm{cm}$.

Drugo rješenje.

Koristimo istu skicu i oznake kao u prvome rješenju.

Kut $\angle ACB$ je obodni nad lukom $\widehat{AB}$ pa je njegov središnji kut $\angle AS_1B=120^\circ$, odnosno $\angle ES_1B=60^\circ$.

Kut $\angle BDA$ je obodni nad lukom $\widehat{BA}$ pa je njegov središnji kut $\angle BS_2A=60^\circ$, odnosno $\angle BS_2E=30^\circ$.

Uočimo da je trokut $S_1S_2B$ pola jednakostraničnoga trokuta stranice duljine

$$a=|S_1S_2|=4\sqrt3\ \mathrm{cm}.$$

Tada je

$$r_1=|S_1B|=\frac a2=\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3\ \mathrm{cm}.$$

Vrijedi i da je

$$r_2=|S_2B|=\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{4\sqrt3\cdot\sqrt3}{2}=6\ \mathrm{cm}.$$

Kako je trokut $S_1S_2B$ pravokutan, površinu mu možemo izračunati na dva načina, odnosno vrijedi da je

$$P=\frac{r_1\cdot r_2}{2}=\frac{x\cdot|S_1S_2|}{2}.$$ $$2\sqrt3\cdot6=x\cdot4\sqrt3$$ $$x=3\ \mathrm{cm}$$

Konačno, zaključujemo da je $|AB|=2x=6\ \mathrm{cm}$.