1. Zadatak

Nakon raspisivanja binomnih koeficijenata dobivamo sljedeću jednakost:

$$\frac13a\cdot n+b\cdot\frac{n(n-1)}2+c\cdot\frac{n(n-1)(n-2)}6+d\cdot\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}=n^4+\frac{253}{3}n^3.$$

Slijedi niz ekvivalentnih jednakosti:

$$8an+12b(n^2-n)+4cn(n^2-3n+2)+d(n^2-n)(n^2-5n+6)=24n^4+2024n^3,$$ $$8an+12bn^2-12bn+4cn^3-12cn^2+8cn+dn^4-6dn^3+11dn^2-6dn=24n^4+2024n^3.$$

Nakon sređivanja lijeve strane, imamo na obje strane polinome četvrtog stupnja

$$dn^4+(4c-6d)n^3+(12b-12c+11d)n^2+(8a-12b+8c-6d)n=24n^4+2024n^3,$$

a njihova jednakost vrijedi za sve prirodne brojeve $n$, $n\ge4$.

Tako su odgovarajući koeficijenti polinoma s lijeve i s desne strane jednakosti jednaki, odnosno vrijedi sljedeći sustav jednakosti:

$$\begin{aligned} d&=24,\\ 4c-6d&=2024,\\ 12b-12c+11d&=0,\\ 8a-12b+8c-6d&=0. \end{aligned}$$

Uvrštavanjem $d=24$ redom u drugu, treću i četvrtu jednadžbu dobivamo vrijednost preostalih koeficijenata. Dakle, $c=542$, $b=520$ i $a=256$.

Uvrstimo li dobivene brojeve u jednakost

$$\frac{b+d-c}{\sqrt[m]{a}}=1$$

dobivamo

$$\frac2{\sqrt[m]{256}}=1,$$

pa je traženi broj $m=8$.

Napomena: Učenik može riješiti zadatak i uvrštavanjem $4$ različita prirodna broja veća ili jednaka $4$ u početnu jednadžbu na mjesto $n$ i riješiti sustav $4$ jednadžbe s $4$ nepoznanice $(a,b,c$ i $d)$.