5. Zadatak

Neka je $\alpha$ kut pri vrhu $A$.

Površina trokuta $ABC$ je

$$P_1=\frac12|AB|\cdot|AC|\cdot\sin\alpha.$$

Trokuti $ADF$ i $ADG$ su sukladni $(k-s-k)$ pa su dijagonale četverokuta $AFEG$ okomite.

Dakle, površina četverokuta je

$$P_2=\frac12|AE|\cdot|FG|.$$

Trokuti $ACD$ i $AEB$ su slični $(k-k)$ pa je

$$\frac{|AC|}{|AE|}=\frac{|AD|}{|AB|},$$

odnosno $|AB|\cdot|AC|=|AD|\cdot|AE|$.

Tada je

$$|AE|=\frac{|AB|\cdot|AC|}{|AD|}.$$

$\overline{FG}$ je tetiva kružnice promjera kojoj odgovara obodni kut $\alpha$ pa vrijedi

$$\sin\alpha=\frac{\frac{|FG|}{2}}{\frac{|AD|}{2}}.$$

Slijedi $|FG|=|AD|\sin\alpha$.

Tada je

$$P_2=\frac12|AE|\cdot|FG|=\frac12\frac{|AB|\cdot|AC|}{|AD|}\cdot|AD|\sin\alpha=\frac12|AB|\cdot|AC|\cdot\sin\alpha=P_1.$$

Dakle, tražene su površine jednake.