3. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $|BC|=a$, onda je $|AB|=2a$, $|AE|=\frac{4a}{3}$, $|FC|=\frac a2$.

Ako je točka $G$ $m$-ta djelišna točka stranice $\overline{AD}$, a $H$ $p$-ta djelišna točka stranice $\overline{CD}$, vrijedi:

$$|AG|=\frac m7a,\qquad |CH|=\frac pn2a.$$

Ako su pravci $EG$ i $FH$ paralelni onda je $\triangle AEG\sim\triangle CHF$ (kutovi s paralelnim kracima $\angle AEG\cong\angle CHF$, $\angle EGA\cong\angle HFC$), pa vrijedi:

$$\frac{|AG|}{|FC|}=\frac{|AE|}{|CH|},$$

odnosno

$$\frac{\frac m7a}{\frac12a}=\frac{\frac43a}{\frac pn2a}.$$

Stoga je $p=\frac{7n}{3m}$, $p<n$.

Ako je $m=1$ tada je $p=\frac{7n}{3}$, te $n\in\{3,6,\ldots\}$, $p\in\{7,14,\ldots\}$ što ne može biti zbog $p<n$.

Ako je $m=2$ tada je $p=\frac{7n}{6}$, te $n\in\{6,12,\ldots\}$, $p\in\{7,14,\ldots\}$ što ne može biti zbog $p<n$.

Ako je $m=3$ tada je $p=\frac{7n}{9}$, te $n\in\{9,18,\ldots\}$, $p\in\{7,14,\ldots\}$ što zadovoljava uvjete.

Ako je $m=4$ tada je $p=\frac{7n}{12}$, te $n\in\{12,24,\ldots\}$, $p\in\{7,14,\ldots\}$ što zadovoljava uvjete, ali je u prethodnom slučaju $n$ manji i za ostale mogućnosti $(m=5,6)$ dobili bi veći $n$, tako da je $n=9$ najmanji prirodan broj takav da su pravci $EG$ i $FH$ paralelni.

Drugo rješenje.

Smjestimo pravokutnik u koordinatni sustav tako da je vrh $A(0,0)$:

$$A(0,0),\ B(2a,0),\ C(2a,a),\ D(0,a),\ E\left(\frac{4a}{3},0\right),\ F\left(2a,\frac a2\right),\ G\left(0,\frac m7a\right),\ H\left(2a-\frac pn2a,a\right).$$

Da bi pravci $EG$ i $FH$ bili paralelni koeficijenti smjera im moraju biti jednaki:

$$k_{EG}=\frac{0-\frac m7a}{\frac{4a}{3}-0}=-\frac{3m}{28},\qquad k_{FH}=\frac{\frac a2-a}{2a-\left(2a-\frac pn2a\right)}=-\frac n{4p},$$ $$k_{EG}=k_{FH}\Longrightarrow-\frac{3m}{28}=-\frac n{4p}\Longrightarrow p=\frac{7n}{3m}.$$

Ostatak rješenja je kao u $1.$ rješenju.