2. Zadatak

Zadane su funkcije $f(x)=x^{\log_{2024}x}$ , $g(x)=\log_{2024}(2\sqrt{506}\cdot x)$ i $h(x)=2x-1$ , pri čemu je $x>0$ , $x\ne1$ . Odredi umnožak svih rješenja jednadžbe $(g\circ f)(x)=(h\circ g)(x)$ .

Odredimo kompozicije funkcija navedene u danoj jednadžbi:

\begin{aligned} (g\circ f)(x) &=g(f(x))=g\left(x^{\log_{2024}x}\right)\\ &=\log_{2024}\left(2\sqrt{506}\cdot x^{\log_{2024}x}\right)\\ &=\log_{2024}(2\sqrt{506})+\log_{2024}\left(x^{\log_{2024}x}\right)\\ &=\log_{2024}\sqrt{2024}+\log_{2024}x\cdot\log_{2024}x\\ &=\frac12+(\log_{2024}x)^2, \end{aligned}

\begin{aligned} (h\circ g)(x) &=h(g(x))=h\left(\log_{2024}(2\sqrt{506}\cdot x)\right)\\ &=2\log_{2024}(2\sqrt{506}\cdot x)-1\\ &=2\log_{2024}\sqrt{2024}+2\log_{2024}x-1\\ &=1+2\log_{2024}x-1\\ &=2\log_{2024}x. \end{aligned}

Uvrstimo dobivene izraze u danu jednadžbu.

(g\circ f)(x)=(h\circ g)(x),

\frac12+(\log_{2024}x)^2=2\log_{2024}x,

2(\log_{2024}x)^2-4\log_{2024}x+1=0.

Uvedemo li zamjenu $\log_{2024}x=t$ , dobivamo kvadratnu jednadžbu $2t^2-4t+1=0$ .

Prema Vieteovim je formulama zbroj njezinih rješenja $t_1+t_2=-\frac ba=2$ . Budući da su $t_1$ i $t_2$ logaritmi rješenja polazne jednadžbe, navedeni je zbroj jednak logaritmu umnoška rješenja $x_1$ i $x_2$ . Tada je redom:

\log_{2024}x_1+\log_{2024}x_2=2,

\log_{2024}(x_1\cdot x_2)=2,

x_1\cdot x_2=2024^2=4096576.