3. Zadatak

Ako duljine kateta trokuta označimo sa $a$ i $b$, a duljinu hipotenuze sa $c$, onda uvjete zadatka možemo zapisati kao sustav: $$\begin{aligned} a^2+b^2+c^2&=1682,\\ a+b+c&=70,\\ a^2+b^2&=c^2. \end{aligned}$$ Uvrštavanjem treće jednadžbe u prvu dobivamo $2c^2=1682$, tj. $c=29$.

Početni sustav sada postaje: $$\begin{aligned} a^2+b^2&=841,\\ a+b&=70-29=41. \end{aligned}$$ Ukoliko iz druge jednadžbe sada izrazimo $b=41-a$ i uvrstimo u prvu, dobivamo $$a^2+(41-a)^2=841,$$ tj. nakon sređivanja $$\begin{aligned} 2a^2-82a+840&=0\\ a^2-41a+420&=0. \end{aligned}$$ Rješenja ove jednadžbe su $$a_{1,2}=\frac{41\pm\sqrt{1681-1680}}2=\frac{41\pm1}2,$$ pa su rješenja početnog sustava $a_1=21$, $b_1=20$ i $a_2=20$, $b_2=21$. Dakle, traženi trokut ima hipotenuzu duljine 29 i katete duljina 20 i 21.