5. Zadatak

Prvo rješenje: Nacrtajmo sliku:

Iz omjera $$\frac{v-h}{v}=\frac xc$$ slijedi $$h=v\left(1-\frac xc\right).$$ Visinu trokuta računamo preko Heronove formule: $$\frac{c\cdot v}{2}=P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$ Odavde: $$7v=\sqrt{21\cdot7\cdot6\cdot8}=84$$ pa je $v=12$.

Tako smo dobili površinu paralelograma $AKLM$: $$p(x)=12x\left(1-\frac{x}{14}\right).$$ U ovisnosti o $x$, ovo je kvadratna funkcija. Njezin vodeći koeficijent je negativan, a nultočke su $x=0$ i $x=14$. Zato se maksimum postiže za $x=7$.

Taj je maksimum jednak 42 (polovina površine trokuta).

Drugo rješenje: Odgovarajuća slika:

Površine sličnih trokuta $ABC$, $MLC$, $KBL$ odnose se kao kvadrati duljina njihovih odgovarajućih stranica $\overline{AB}$, $\overline{ML}$, $\overline{KB}$.

Dakle $$P(ABC):P(MLC):P(KBL)=c^2:x^2:(c-x)^2$$ Označimo površinu trokuta s $P$. Dobili smo $$P(MLC)=\frac{x^2}{c^2}P,\qquad P(KBL)=\frac{(c-x)^2}{c^2}P.$$ Zato je površina paralelograma $$P(AKLM)=P(ABC)-P(MLC)-P(KBL)$$ Odavde: $$\begin{aligned} P(AKLM)&=P\left(1-\frac{x^2}{c^2}-\frac{(x-c)^2}{c^2}\right)\\ &=\frac{c^2-x^2-(c-x)^2}{c^2}\cdot P\\ &=\frac{2x(c-x)}{c^2}\cdot P \end{aligned}$$ Maksimum kvadratne $2x(c-x)$ funkcije postiže se za $x=\frac c2=7$. Površina paralelograma je $\frac12P$.