4. Zadatak

Da bi funkcija $f(x)=a^2x^2+2(a+3)x+1$ mogla imati dvije nultočke, mora biti kvadratna funkcija, tj. mora vrijediti $a\ne0$. Da bi te dvije nultočke bile realne i različite, diskriminanta mora biti strogo veća od 0, tj. $$\begin{aligned} (2(a+3))^2-4a^2&>0\\ 4a^2+4\cdot6a+4\cdot9-4a^2&>0\\ 6a+9&>0\\ a&>\frac{-3}{2} \end{aligned}$$ Stoga za parametar $a$ mora vrijediti $a\in\langle-3/2,0\rangle\cup\langle0,+\infty\rangle$.

Najmanji cjelobrojni $a$ koji zadovoljava taj uvjet je $a=-1$, za koji kvadratna funkcija postaje $f(x)=x^2+4x+1$. Njezine nultočke, po Vièteovim formulama, zadovoljavaju: $x_1+x_2=-4$, $x_1\cdot x_2=1$. Računamo: $$\begin{aligned} x_1^{-3}-x_1^{-2}+x_2^{-3}-x_2^{-2} &=\frac{x_1^3+x_2^3-x_1x_2^3-x_1^3x_2}{(x_1x_2)^3}\\ &=\frac{(x_1+x_2)^3-3x_1x_2^2-3x_1^2x_2-x_1x_2(x_1^2+x_2^2)}{(x_1x_2)^3}\\ &=\frac{(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)-x_1x_2((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)}{(x_1x_2)^3}\\ &=\frac{(-4)^3-3\cdot1\cdot(-4)-1\cdot((-4)^2-2\cdot1)}{1^3}\\ &=-64+12-14=-66. \end{aligned}$$