6. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz sličnosti trokuta slijedi da se osvijetljena površina odnosi kao kvadrat visine. Zato vrijedi

$$\left(\frac{x+1}{x}\right)^2=\frac{P+2.25}{P}, \qquad \left(\frac{x-1}{x}\right)^2=\frac{P-1.75}{P}.$$

Množenjem prvog odnosa dobivamo

$$Px^2+2Px+P=Px^2+2.25x^2,$$

pa je

$$P=\frac{2.25x^2}{2x+1}.$$

Iz drugog odnosa dobivamo

$$Px^2-2Px+P=Px^2-1.75x^2,$$

pa je

$$P=\frac{1.75x^2}{2x-1}.$$

Izjednačavanjem i dijeljenjem s $x^2$ dobivamo

$$\frac{2.25}{2x+1}=\frac{1.75}{2x-1},$$

odakle je

$$4.5x-3.5x=2.25+1.75, \qquad x=4\ \mathrm m.$$

Drugo rješenje.

U presjeku reflektora i osvijetljenih krugova označimo polumjere s $r$, $r_1$ i $r_2$, a odgovarajuće visine s $x$, $x-1$ i $x+1$. Iz sličnosti vrijedi

$$\frac{x-1}{x}=\frac{r_1}{r}, \qquad \frac{x+1}{x}=\frac{r_2}{r}.$$

Na drugoj službenoj skici isti su omjeri prikazani s površinama i polumjerima:

Budući da su površine krugova $\pi r^2$, slijedi

$$\left(\frac{x+1}{x}r\right)^2\pi=r^2\pi+2.25,$$ $$\left(\frac{x-1}{x}r\right)^2\pi=r^2\pi-1.75.$$

Zato vrijedi

$$\left(\left(\frac{x+1}{x}\right)^2-1\right)r^2\pi=2.25,$$ $$\left(\left(\frac{x-1}{x}\right)^2-1\right)r^2\pi=-1.75.$$

Dijeljenjem jedne jednakosti drugom dobivamo

$$\frac{2x+1}{-2x+1}=-\frac97,$$

pa je

$$14x+7=18x-9, \qquad x=4\ \mathrm m.$$