4. Zadatak

Prvo rješenje.

Po Vieteovim formulama vrijedi

$$a+b=-1,\qquad ab=1.$$

Množenjem jednadžbe $z^2+z+1=0$ s $z-1$ dobivamo

$$z^3-1=0.$$

Budući da su $a$ i $b$ različiti od 1, slijedi $a^3=b^3=1$. Kako je $2016$ djeljivo s 3, vrijedi

$$a^{2018}+b^{2018}=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2=-1.$$

Drugo rješenje.

Korijeni jednadžbe su

$$a=\frac{-1-i\sqrt3}{2},\qquad b=\frac{-1+i\sqrt3}{2}$$

(u bilo kojem redoslijedu). Tada je

$$a^3 =\left(\frac{-1-i\sqrt3}{2}\right)^3 =-\frac18\left(1+3i\sqrt3-3\cdot3-3i\sqrt3\right)=1,$$

i analogno $b^3=1$. Uočimo

$$a^{2016}=(a^3)^{672}=1,\qquad b^{2016}=(b^3)^{672}=1.$$

Odavde je

$$a^{2018}+b^{2018}=a^{2016}\cdot a^2+b^{2016}\cdot b^2=a^2+b^2$$

pa je

$$a^2+b^2= \left(\frac{-1-i\sqrt3}{2}\right)^2+ \left(\frac{-1+i\sqrt3}{2}\right)^2=-1.$$