1. Zadatak

Dokazujemo matematičkom indukcijom. Za $n=6$ tvrdnja je istinita: $$2^6=64<6!=720<729=3^6.$$ Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za broj $n$.

Dokažimo najprije nejednakost zdesna. Onda je $$(n+1)!=(n+1)n!<(n+1)\left(\frac n2\right)^n$$ pa je dovoljno dokazati $$(n+1)\left(\frac n2\right)^n<\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}\iff2n^n<(n+1)^n.$$ Posljednja nejednakost je istinita, jer slijedi npr. iz binomnog razvoja $$(n+1)^n=n^n+\binom n1n^{n-1}+\ldots>2n^n.$$ Dokažimo sad nejednakost slijeva. Prema pretpostavci indukcije, vrijedi $$(n+1)\left(\frac n3\right)^n<(n+1)\cdot n!$$ zato je dovoljno dokazati da vrijedi: $$\left(\frac{n+1}{3}\right)^{n+1}<(n+1)\left(\frac n3\right)^n.$$ Ova je nejednakost ekvivalentna s $$\left(1+\frac1n\right)^n<3.$$ Niz slijeva je rastući s limesom $e<3$, pa je tvrdnja dokazana.

Bez pozivanja na ovu tvrdnju, nejednakost se može dokazati direktno: $$\begin{aligned} \left(1+\frac1n\right)^n &=1+\binom n1\cdot\frac1n+\binom n2\cdot\frac1{n^2}+\ldots+\binom nn\cdot\frac1{n^n}\\ &=1+1+\frac12\cdot\frac{n(n-1)}{n^2}+\frac1{3!}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)}{n^3}+\ldots+\frac1{n!}\cdot\frac{n!}{n^n}\\ &<1+1+\frac12+\frac1{3!}+\ldots+\frac1{n!}\\ &<1+1+\frac12+\frac14+\ldots+\frac1{2^{n-1}}<3. \end{aligned}$$