5. Zadatak

Krivulje su centralnosimetrične pa je dovoljno promatrati situaciju u I. kvadrantu.

Tangenta na hiperbolu $xy=4$ u točki $(2,2)$ ima jednadžbu $y=4-x$, jer zbog simetričnosti hiperbole u odnosu na pravac $y=x$, hiperbola ima nagib $-1$. Odsječak pravca na ordinati je $4$, jer točka $(2,2)$ leži na tangenti.

Sada povlačimo tangentu na elipsu paralelnu toj tangenti. Ona će imati jednadžbu $y=-x+l$.

Iz uvjeta diranja pravca i elipse slijedi $$a^2k^2+b^2=l^2,\qquad4+1=l^2,$$ pa je $l=\sqrt5$. Jednadžba tangente na elipsu glasi $y=\sqrt5-x$.

Sada ćemo izračunati udaljenost ovih dvaju pravaca. Ona je jednaka udaljenosti točke $(2,2)$ od tangente na elipsu: $$d=\left|\frac{2+2-\sqrt5}{\sqrt{1^2+1^2}}\right|=\frac{4-\sqrt5}{\sqrt2}.$$ Udaljenost između točaka $A$ i $B$ sigurno je veća od ove udaljenosti, jer točka u kojoj tangenta na elipsu dira elipsu ne leži na pravcu $y=x$.