4. Zadatak

a) Skup $\mathbb R$ rastavit ćemo na tri intervala:

1) $x<-\frac23$. Tu jednadžba glasi $$-3x+2-3x-2=5\Longrightarrow x=-\frac56.$$ Rješenje zadovoljava, jer pripada intervalu.

2) $-\frac23\leq x\leq\frac23$. Tu jednadžba glasi $$-3x+2+3x+2=5\Longrightarrow4=5.$$ Jednadžba nema rješenja na tom intervalu.

3) $x>\frac23$. Tu jednadžba glasi $$3x-2+3x+2=5\Longrightarrow x=\frac56.$$ Rješenje zadovoljava, jer pripada intervalu.

b) Primijetimo da vrijedi: $$\begin{aligned} y&=\sqrt{9x^2-12x+4}+\sqrt{9x^2+12x+4}\\ &=\sqrt{(3x-2)^2}+\sqrt{(3x+2)^2}=|3x-2|+|3x+2| \end{aligned}$$ Prema dijelu a), ova funkcija ima sljedeći prikaz: $$y=\begin{cases}-6x,&x<-\frac23,\\4,&-\frac23\leq x\leq\frac23,\\6x,&\frac23<x.\end{cases}$$ Njezin graf izgleda ovako:

Lik omeđen grafom ove funkcije i pravcem $y=5$ je trapez s vrhovima $(-\frac56,5)$, $(-\frac23,4)$, $(\frac23,4)$, $(\frac56,5)$. Njegove osnovice imaju duljine $2\cdot\frac56$ i $2\cdot\frac23$, a visina mu iznosi 1. Zato mu je površina $$P=\frac{\frac43+\frac53}{2}\cdot1=\frac32.$$