2. Zadatak

1. način. Vrijedi $\frac{37}{13}=2+\frac{11}{13}$ pa je $$x+\frac1{y+\frac1z}=\frac{13}{11}=1+\frac2{11}$$ Kako su $x$, $y$ i $z$ prirodni brojevi, drugi pribrojnik slijeva je manji od 1, pa mora biti $x=1$. $$y+\frac1z=\frac{11}{2}=5+\frac12.$$ Sad zaključujemo da je $y=5$ i $z=2$.

2. način. Zadana se jednadžba može srediti na sljedeći način: $$\begin{aligned} \frac{37}{13}&=2+\frac1{x+\frac1{y+\frac1z}},\\ \frac{11}{13}&=\frac1{x+\frac z{yz+1}}=\frac{yz+1}{xyz+x+z},\\ 11(xyz+x+z)&=13(yz+1),\\ 11x(yz+1)+11z&=13(yz+1),\\ (yz+1)(13-11x)&=11z. \end{aligned}$$ Broj $13-11x$ mora biti pozitivan, pa je zato $x=1$.

Sada je $2(yz+1)=11z$, odnosno $$z(11-2y)=2$$ Broj $11-2y$ je neparan, pa mora biti $z=2$, $11-2y=1$, odakle slijedi $y=5$.