6. Zadatak

Prvo rješenje.

Najprije uočimo da mora biti $x>0$, $x\neq1$.

Sređivanjem izraza u zagradama dobivamo

$$\sqrt{x}-\frac1{\sqrt{x}}=\frac{x-1}{\sqrt{x}},$$ $$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+4x-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} =4x+\frac{(\sqrt{x}+1)^2-(\sqrt{x}-1)^2}{x-1} =4x+\frac{4\sqrt{x}}{x-1}.$$

Stoga je dana jednadžba ekvivalentna s

$$\frac{x-1}{\sqrt{x}}\cdot\left(4x+\frac{4\sqrt{x}}{x-1}\right)=112-4\sqrt{x}.$$

Slijedi

$$\begin{aligned} 4(x-1)\sqrt{x}+4&=112-4\sqrt{x}\\ 4x\sqrt{x}&=108\\ x\sqrt{x}&=27. \end{aligned}$$

Dakle, $\sqrt{x}=3$, $x=9$.

Drugo rješenje.

Najprije uočimo da mora biti $x>0$, $x\neq1$.

Ako uvedemo supstituciju $a=\sqrt{x}$ dana jednadžba uz $a\neq1$, $a>0$ prelazi u

$$\left(a-\frac1a\right)\left(\frac{a+1}{a-1}+4a^2-\frac{a-1}{a+1}\right)=112-4a.$$

Sređivanjem dobivamo

$$\frac{a^2-1}{a}\cdot\frac{(a+1)^2+4a^2(a^2-1)-(a-1)^2}{(a-1)(a+1)}=112-4a.$$

(Svođenje na zajednički nazivnik izraza u zagradama)

$$\frac{a^2+2a+1+4a^4-4a^2-a^2+2a-1}{a}=112-4a.$$

(Skraćivanje s $a^2-1$)

Sređivanjem dobivamo

$$\frac{4a^4-4a^2+4a}{a}=112-4a,$$

odnosno $4a^3-4a+4=112-4a$.

(Svođenje na jednadžbu bez nazivnika)

Sada je redom $4a^3=108$, $a^3=27$, te $a=3$.

Iz $\sqrt{x}=a$ slijedi $x=a^2=9$.