5. Zadatak

Prvo rješenje.

Visina trokuta $ABC$ iznosi $h=\sqrt{17^2-15^2}=8\ \mathrm{cm}$.

Uočimo pravokutne trokute $DEA$ i $DAC$ i primijenimo Pitagorin poučak. Dobivamo

$$|AD|^2=8^2+(15-x)^2$$ $$|AD|^2=(30-x)^2-17^2.$$

Izjednačimo li desne strane dobivamo

$$\begin{aligned} 64+(15-x)^2&=(30-x)^2-289\\ 30x&=322 \end{aligned}$$

odnosno $x=\frac{161}{15}$.

Traženi omjer je

$$\frac{161}{15}:\left(30-\frac{161}{15}\right)=\frac{161}{15}:\frac{289}{15}=161:289.$$

Drugo rješenje.

Skica i određivanje visine, kao u prvom rješenju.

Primijenimo Euklidov poučak za visinu $h$ na hipotenuzu $CD$ trokuta $CDA$.

$$\begin{aligned} h&=\sqrt{(15-x)\cdot15}\\ 64&=225-15x\\ 15x&=161 \end{aligned}$$

te je $x=\frac{161}{15}$.

Slijedi računanje omjera kao u prvom rješenju.

Treće rješenje.

Skica

Trokuti $AEC$ i $DAC$, osim pravog kuta, imaju kut u vrhu $C$ zajednički što znači da su slični prema poučku $K-K$. Tada vrijedi

$$\begin{aligned} 15:17&=17:(30-x)\\ 15(30-x)&=289\\ 15x&=161 \end{aligned}$$

te je $x=\frac{161}{15}$.

Slijedi računanje omjera kao u prvom rješenju.