7. Zadatak

Točke $E$ i $G$ su vrhovi jednakostraničnih trokuta s osnovicama $AB$ i $CD$, pa se nalaze na simetrali tih dužina. Analogno, točke $F$ i $H$ su na simetrali dužina $BC$ i $AD$.

Kako su te simetrale međusobno okomite, trokuti $OFE$, $OGF$, $OHG$ i $OEH$ su sukladni pravokutni trokuti.

Neka je duljina stranice zadanog kvadrata jednaka $a$.

Tada je

$$|PG|=a-\frac{a\sqrt3}{2}=a\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right),$$ $$|GO|=\frac a2-|PG|=a\cdot\frac{\sqrt3-1}{2}$$

i analogno

$$|FO|=|EO|=|HO|=|GO|=a\cdot\frac{\sqrt3-1}{2}.$$

Trokuti $OFE$, $OGF$, $OHG$ i $OEH$ su sukladni pravokutni trokuti, a četverokut $EFGH$ je kvadrat.

Njegova je površina jednaka $P=\frac12d^2$, gdje je $d=2|FO|$ duljina dijagonale toga kvadrata.

$$P=\frac12\left(2\cdot a\cdot\frac{\sqrt3-1}{2}\right)^2 =a^2(2-\sqrt3).$$

Traženi omjer površina je

$$\frac{P(ABCD)}{P(EFGH)} =\frac{a^2}{a^2(2-\sqrt3)} =\frac1{2-\sqrt3} =2+\sqrt3.$$