4. Zadatak

Prvo rješenje.

Uvedimo oznake kao na slici.

Izračunajmo površinu trokuta $AS_1S_2$ po Heronovoj formuli. Za $a=|S_1S_2|=44$ cm, $b=|S_2A|=37$ cm, $c=|S_1A|=15$ cm, dobivamo

$$s=\frac12(15+37+44)=48\ \mathrm{cm},$$ $$P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} =\sqrt{48\cdot4\cdot11\cdot33} =4\cdot3\cdot2\cdot11 =264\ \mathrm{cm}^2.$$

S druge strane, površina trokuta $AS_1S_2$ je

$$P=\frac12\cdot|S_1S_2|\cdot|AE|.$$

Sada iz

$$264=\frac12\cdot44\cdot|AE|$$

slijedi $|AE|=12$ cm.

Duljina zajedničke tetive tih dviju kružnica iznosi

$$|AB|=2|AE|=24\ \mathrm{cm}.$$

Drugo rješenje.

Neka je $|AE|=v$ i $|S_1E|=x$. Tada je $|S_2E|=44-x$.

Primijenimo Pitagorin poučak na trokute $AES_1$ i $AES_2$:

$$x^2+v^2=15^2,$$ $$v^2+(44-x)^2=37^2.$$

Oduzimanjem ovih dviju jednadžbi dobivamo

$$88x-44^2=15^2-37^2,$$

odakle dobivamo $x=9$.

Konačno, iz $x^2+v^2=15^2$ slijedi $v=12$, a tražena duljina tetive iznosi

$$|AB|=2v=24\ \mathrm{cm}.$$