3. Zadatak

Minimalna ili maksimalna vrijednost kvadratne funkcije $f(x)=ax^2+bx+c$ je

$$\frac{4ac-b^2}{4a}.$$

Zato je maksimalna vrijednost funkcije $f$

$$\frac{4\cdot(-3)\cdot(k-9)-4(k-5)^2}{4\cdot(-3)} =\frac{k^2-7k-2}{3},$$

a minimalna vrijednost funkcije $g$

$$\frac{4\cdot1\cdot(k+7)-4(k-1)^2}{4} =-k^2+3k+6.$$

S obzirom da te vrijednosti moraju biti jednake, slijedi

$$\frac{k^2-7k-2}{3}=-k^2+3k+6.$$

Sređivanjem dobivamo

$$k^2-4k-5=0,$$

pa su rješenja $k=-1$ i $k=5$.

Tražene funkcije su

$$f_1(x)=-3x^2+12x-10,\qquad g_1(x)=x^2+4x+6,$$ $$f_2(x)=-3x^2-4,\qquad g_2(x)=x^2-8x+12.$$