3. Zadatak

Neka je $n$ traženi broj. Kako je zbroj znamenki jednak 6, broj $n$ je djeljiv s 3.

Broj $n$ nije djeljiv s 4 (po uvjetu zadatka) ni s 9 (zbroj znamenki je 6), stoga se 2 i 3 kao prosti faktori od $n$ javljaju samo jednom.

Broj $n$ ima 8 djelitelja, što znači da osim 2 i 3 ima još neki prosti faktor $p\neq2$, $p\neq3$ u svom rastavu, tj. $n$ je oblika $n=6p$.

Djelitelji broja $n$ su: $1$, $2$, $3$, $6$, $p$, $2p$, $3p$, $6p$.

Njihov je zbroj jednak $1+2+3+6+p+2p+3p+6p=12+12p=12(1+p)$.

Kako je taj zbroj djeljiv s 10, broj $(1+p)$ mora biti djeljiv s 5, tj. zadnja znamenka broja $p$ treba biti 4 ili 9. Kako je $p$ prost broj, njegova je zadnja znamenka 9, što daje 4 kao zadnju znamenku broja $n$.

Kako je zbroj znamenki od $n$ jednak 6, dvoznamenkasti završetak broja $n$ može biti 04, 14 ili 24, a kako $n$ nije djeljiv 4, jedina mogućnost je 14. Znači, broj $n$ je oblika $n=100\ldots014$.

Treba još odrediti koliko je znamenki 0 u zapisu broja $n$. Broj $n$ možemo zapisati u obliku $n=10^x+14$, $x>1$.

Kako je $10^x$ djeljivo sa 16 za $x\geq4$ (u tom bi slučaju ostatak pri dijeljenju broja $n$ sa 16 bio 14, protivno pretpostavci), dovoljno je provjeriti za $x=2$ i $x=3$.

Za $x=2$ je $n=114=6\cdot19$, a kako je 19 prosti broj, ovo rješenje ispunjava uvjete zadatka.

Za $x=3$ je $n=1014=6\cdot169$, a kako je 169 složeni broj, ovo rješenje ne ispunjava uvjete zadatka.

Jurica može na temelju zadanih podataka pogoditi da se radi o broju 114.