5. Zadatak

Dvije prijateljice Esma i Ljerka osmislile su igru: svako se slovo imena zamijeni znamenkom od 1 do 5 prema danoj tablici. Tako ime Esma ima kod 4431, a Ljerka 24351.

1	2	3	4	5
A	B	C	Č	Ć
D	DŽ	Đ	E	F
G	H	I	J	K
L	LJ	M	N	NJ
O	P	R	S	Š
T	U	V	Z	Ž

Znamenke dobivenog koda $a_1a_2\ldots a_k$ koriste se za kretanje koracima iste duljine. Od početne se točke kreće $a_1$ koraka u smjeru sjevera, a za svaku sljedeću znamenku $a_i$ zakreće se za $90^\circ$ ulijevo i hoda $a_i$ koraka u tom smjeru (dakle $a_2$ koraka u smjeru zapada, $a_3$ koraka u smjeru juga, $a_4$ koraka u smjeru istoka i tako dalje). Postupak se ponavlja (nakon posljednje znamenke nastavlja se s prvom znamenkom koda) sve do povratka u početnu točku.

Esma je zaključila da se svojim kodom nikada neće vratiti u početnu točku. Zašto?

Ljerka se u početnu točku vratila nakon točno $5n$ koraka. Odredite $n$ i dokažite da će se svaka osoba s 5 slova u imenu vratiti u početnu točku nakon najviše 4 kruga, odnosno ponavljanja koda.

Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da su Esma i Ljerka krenule iz točke $(0,0)$ .

Prva tri kruga Esmina kretanja po kvadratnoj mreži

Esmino kretanje izgleda ovako:

Prvi krug: $(0,0)$ , $(0,4)$ , $(-4,4)$ , $(-4,1)$ , $(-3,1)$

Drugi krug: $(-3,1)$ , $(-3,5)$ , $(-7,5)$ , $(-7,2)$ , $(-6,2)$

Treći krug: $(-6,2)$ , $(-6,6)$ , $(-10,6)$ , $(-10,3)$ , $(-9,3)$ .

Nakon $k$ -tog kruga koordinate završne točke mijenjaju se u $(-3k,k)$ pa Esma očito ne može doći u početnu točku jer se završne točke nalaze na jednom pravcu.

Ljerkino kretanje izgleda ovako:

Prvi krug: $(0,0)$ , $(0,2)$ , $(-4,2)$ , $(-4,-1)$ , $(1,-1)$ , $(1,0)$

Drugi krug: $(1,0)$ , $(-1,0)$ , $(-1,-4)$ , $(2,-4)$ , $(2,1)$ , $(1,1)$

Treći krug: $(1,1)$ , $(1,-1)$ , $(5,-1)$ , $(5,2)$ , $(0,2)$ , $(0,1)$

Četvrti krug: $(0,1)$ , $(2,1)$ , $(2,5)$ , $(-1,5)$ , $(-1,0)$ , $(0,0)$

Ljerki je bilo potrebno 4 kruga da se vrati u točku iz koje je krenula.

Budući da je svaki krug iznosio $2+4+3+5+1=15$ koraka, Ljerki je bilo potrebno ukupno 60 koraka, pa je traženi $n=12$ .

Neka je kôd imena sa 5 slova $abcde$ , gdje su $a,b,c,d,e\in\{1,2,3,4,5\}$ . Krećemo iz točke $(x,y)$ prema gore za $a$ , lijevo za $b$ , dolje za $c$ , desno za $d$ i opet gore za $e$ i dolazimo u točku $(x-b+d,y+a-c+e)$ .

U drugom krugu krećemo iz te točke prema lijevo za $a$ , dolje za $b$ , desno za $c$ , gore za $d$ , lijevo za $e$ i dolazimo u točku $(x-b+d-a+c-e,y+a-c+e-b+d)$ .

Opći prikaz prva dva od četiri kruga za kod abcde

U trećem krugu krećemo iz te točke prema dolje za $a$ , desno za $b$ , gore za $c$ , lijevo za $d$ i opet dolje za $e$ i dolazimo u točku

(x-b+d-a+c-e+b-d,y+a-c+e-b+d-a+c-e)=(x-a+c-e,y-b+d).

U četvrtom krugu krećemo iz te točke prema desno za $a$ , gore za $b$ , lijevo za $c$ , dolje za $d$ , desno za $e$ i dolazimo u točku

(x-a+c-e+a-c+e,y-b+d+b-d)=(x,y).

Osobi s 5 slova u imenu dovoljna su najviše 4 kruga da se vrati u početnu točku.