2. Zadatak

Vrijednost danog izraza ovisi o predznaku svakog od izraza unutar apsolutne vrijednosti, pa se računa po intervalima od $\langle-\infty,1]$, $[1,2]$, $[2,3]$, $\ldots$, $[1010,1011]$,$\ldots$, $[2019,2020]$, $[2020,\infty\rangle$.

Ta vrijednost neće ovisiti o varijabli $x$ na onom intervalu na kojem će zbroj svih varijabli biti jednak 0. To znači da na tom intervalu polovica od svih izraza unutar apsolutne vrijednosti mora biti pozitivna, a druga polovica negativna. Uočimo da je svaki od 1010 izraza $x-1$, $x-2$, $\ldots$, $x-1010$ pozitivan, a svaki od 1010 izraza $x-1011$, $x-1012$,$\ldots$, $x-2020$ negativan na intervalu $[1010,1011]$.

Stoga za $x\in[1010,1011]$ imamo

$$\begin{aligned} &|x-1|+|x-2|+|x-3|+\cdots+|x-2019|+|x-2020|\\ &=x-1+x-2+x-3+\cdots+x-1010+(-x+1011-x+1012-x+1013-\cdots-x+2020)\\ &=(-1-2-3-\cdots-1010)+(1011+1012+1013+\cdots+2020)\\ &=(-1+1011)+(-2+1012)+(-3+1013)+\cdots+(-1010+2020)\\ &=1010\cdot1010=1010^2. \end{aligned}$$