4. Zadatak

Prvo rješenje.

U pravokutnom trokutu $AEC$ točka $D$ je polovište hipotenuze, tj. ujedno je i središte opisane kružnice tog trokuta i vrijedi $|AD|=3$.

Iz pravokutnog trokuta $ABD$ dobivamo

$$\begin{aligned} |AB|^2&=|BD|^2-|AD|^2,\\ |AB|^2&=5^2-3^2=25-9=16,\\ |AB|&=4. \end{aligned}$$

Iz površine trokuta $ABD$ izračunat ćemo visinu $v$.

$$P_{ABD}=\frac{|BD|\cdot v}{2}=\frac{|AB|\cdot|AD|}{2}$$ $$v=\frac{|AB|\cdot|AD|}{|BD|}=\frac{4\cdot3}{5}=\frac{12}{5}$$

Površina trokuta $ABC$ jednaka je

$$P=\frac{|BC|\cdot v}{2}=\frac{8\cdot\frac{12}{5}}{2}=\frac{48}{5}.$$

Trokut $DCA$ je jednakokračan i vrijedi $\angle DAC=\angle ACD$, a kako je $\angle ACD=\angle ACB$ i $\angle ADE$ je vanjski kut trokuta $DCA$, imamo $\angle ADB=\angle ADE=\angle DAC+\angle ACD=2\angle ACD=2\angle ACB$.

Konačno, u pravokutnom trokutu $ABD$ je

$$\sin(2\angle ACB)=\sin\angle ADB=\frac{|AB|}{|BD|}=\frac45.$$

Drugo rješenje.

Primijenimo li Euklidov poučak na pravokutne trokute $ABD$ i $AEC$ (ili sličnost pravokutnih trokuta na koje visina $v$ dijeli trokut $ABD$, odnosno $AEC$) dobivamo $v^2=x(6-x)$ i $v^2=(3-x)(2+x)$.

Odatle slijedi $x(6-x)=(3-x)(2+x)$, odnosno $x=\dfrac65$. Tada je $v=\dfrac{12}{5}$ i $|AD|=3$.

Površina trokuta $ABC$ je

$$P=\frac{|BC|\cdot v}{2}=\frac{8\cdot\frac{12}{5}}{2}=\frac{48}{5}.$$

Kako je $|AD|=3=|DC|$, trokut $ADC$ je jednakokračan, pa dalje računamo kao i u prvom rješenju: $\angle ADB=\angle DAC+\angle ACD=2\angle ACD=2\angle ACB$.

Konačno, u pravokutnom trokutu $ABD$ je

$$\sin(2\angle ACB)=\sin\angle ADB=\frac{|AB|}{|BD|}=\frac45.$$