7. Zadatak

Promotrimo grafove funkcija $f(x)=\left|\sin\left(\frac13\pi x\right)\right|$ i $g(x)=\frac1a x$.

Period funkcije $\sin\left(\frac13\pi x\right)$ je $\frac{2\pi}{\frac13\pi}=6$, pa je period funkcije $f$ jednak $\frac62=3$.

Uočimo da su sva rješenja jednadžbe nenegativna jer se grafovi ne sijeku lijevo od $y$ osi.

Na svakom od intervala $[0,3\rangle$, $[3,6\rangle$, $[6,9\rangle$, $\ldots$, $[3(k-1),3k\rangle$, grafovi funkcija $f$ i $g$ sijeku se u dvije točke. To znači da je za 600 rješenja potrebno 300 takvih intervala u kojima su po dva rješenja.

Zadnji interval u kojem se grafovi mogu sjeći je $[3\cdot299,3\cdot300\rangle=[897,900\rangle$, a za svaki $x>900$ funkcija $g$ mora imati vrijednost veću od funkcije $f$. (ili slika)

Promotrimo prikazane grafove funkcija $f$ i $g$ za $x\geq900$.

Uočimo da funkcija $f$ na intervalu $[900,903]$ ima najveću vrijednost 1 za $x=901.5$ jer je

$$f(901.5)=\left|\sin\frac{901.5}{3}\pi\right|=\left|\sin\frac\pi2\right|=1.$$

Funkcija $g(x)=\frac1a x$ ima vrijednost 1 za $x=a$.

Neka je $a=902$, odnosno $g(x)=\frac1{902}x$. Tada je $g(901.5)=\frac{901.5}{902}<1$, a kako je $f(901.5)=1$, slijedi $g(901.5)<f(901.5)$.

To znači da se grafovi funkcija $f$ i $g$ na intervalu $[900,903]$ sijeku, pa zadana jednadžba ima više od 600 rješenja. Kako bi isto vrijedilo i za $a\geq903$, traženi broj $a$ manji je od 902.

Neka je $a=901$, odnosno $g(x)=\frac1{901}x$.

Očito je $g(x)>1$ za sve $x>901$, a kako je $f(x)\leq1$ funkcije $f$ i $g$ se ne sijeku za $x>901$. Pokažimo da se ne sijeku ni za $x\in[900,901]$.

Izračunajmo vrijednosti funkcija $f$ i $g$ za $x=900$ i $x=901$.

$$g(900)=\frac{900}{901}\approx0.9989,\qquad g(901)=1,$$ $$f(900)=\left|\sin\frac{900\pi}{3}\right|=0,\qquad f(901)=\left|\sin\frac{901\pi}{3}\right|=\frac{\sqrt3}{2}\approx0.866.$$

Za sve $x\in[900,901]$ vrijedi

$$g(x)\geq\frac{900}{901}>\frac{\sqrt3}{2}\geq f(x),$$

pa se grafovi na tom intervalu ne sijeku.

Zaključujemo da je najveći prirodni broj $a$ s traženim svojstvom jednak $a=901$.