6. Zadatak

Danu jednadžbu zapišimo u obliku $a\sin x=\operatorname{tg}x+1$.

Uočimo da broj $a$ mora biti pozitivan i različit od 0 jer je $x$ u intervalu $\left\langle0,\frac\pi2\right\rangle$ gdje su i $\sin x$ i $\operatorname{tg}x$ pozitivni.

$$a\sin x=\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}$$ $$a\sin x\cos x=\sin x+\cos x$$ $$a^2\sin^2x\cos^2x=(\sin x+\cos x)^2$$ $$\frac14a^2\sin^22x=1+2\sin x\cos x$$ $$a^2\sin^22x=4+4\sin2x.$$

Uz supstituciju $y=\sin2x$ dobivamo kvadratnu jednadžbu $a^2y^2-4y-4=0$ čija su rješenja

$$y_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16+16a^2}}{2a^2}=\frac{2\pm2\sqrt{1+a^2}}{a^2}.$$

Vrijedi $x\in\left\langle0,\frac\pi2\right\rangle$ pa je $2x\in\langle0,\pi\rangle$ te $\sin2x>0$.

Zato je

$$y=\frac{2+2\sqrt{1+a^2}}{a^2},$$

uz uvjet $y\leq1$, a to je zbog $a\neq0$ ekvivalentno s

$$2\sqrt{1+a^2}\leq a^2-2.$$

Lijeva strana ove nejednakosti je pozitivna, pa mora biti $a^2-2>0$, tj. $|a|>\sqrt2$, odnosno zbog $a>0$ vrijedi $a>\sqrt2$. $\qquad(*)$

Uz taj uvjet nakon kvadriranja dobivamo

$$4+4a^2\leq a^4-4a^2+4$$ $$a^4-8a^2\geq0$$ $$a^2\geq8\qquad |a|\geq2\sqrt2.$$

Iz $(*)$ je $a>\sqrt2$, pa slijedi $a\geq2\sqrt2$ tj. $a\in\left[2\sqrt2,\infty\right\rangle$.